Question

11．如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，邊長(zhǎng)為4厘米，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以1厘米/秒的速度沿A-B-C運(yùn)動(dòng)，在P出發(fā)1秒后，點(diǎn)Q以同樣的速度沿相同的路線運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P、Q的直線L₁、L₂相互平行，且都與AB邊所在的直線成60°角，設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒（1＜x＜8），直線L₁、L₂在菱形ABCD上截得的圖形面積為y平方厘米．
（1）陰影部分的圖形總是梯形嗎？
（2）求y與x之間的關(guān)系式；
（3）當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大，最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）陰影部分的圖形不一定總是梯形；有三種情況：①當(dāng)1＜x≤4時(shí)；②當(dāng)4＜x＜5時(shí)；③當(dāng)5≤x＜8時(shí)；容易得出結(jié)論；
（2）分三種情況：①當(dāng)1＜x≤4時(shí)，由等邊三角形的性質(zhì)和梯形面積公式即可得出結(jié)果；
②當(dāng)4＜x＜5時(shí)，連接BD，證出△ABD和△BCD是等邊三角形，得出BD=AB=4，由等邊三角形的性質(zhì)和圖象面積公式即可得出結(jié)果；
③當(dāng)5≤x＜8時(shí)，同①得出結(jié)果；
（3）當(dāng)1＜x≤4時(shí)，由一次函數(shù)的性質(zhì)得出y最大=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$；
當(dāng)4＜x＜5時(shí)，由二次函數(shù)的頂點(diǎn)是得出當(dāng)x=$\frac{9}{2}$時(shí)，y最大=$\frac{15\sqrt{3}}{8}$；
當(dāng)5≤x＜8時(shí)，由一次函數(shù)的性質(zhì)得出當(dāng)x=5時(shí)，y最大=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$；進(jìn)行比較即可．

解答 解：（1）陰影部分的圖形不一定總是梯形；有三種情況：
①當(dāng)1＜x≤4時(shí)，陰影部分的圖形是梯形；
②當(dāng)4＜xxy5時(shí)，陰影部分的圖形不是梯形；當(dāng)
③5≤x＜8時(shí)，陰影部分的圖形是梯形；
（2）分三種情況：
①當(dāng)1＜x≤4時(shí)，y=$\frac{1}{2}$（x-1+x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
②當(dāng)4＜x＜5時(shí)，連接BD，如圖1所示：
∵四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴AB=BC=CD=DA=4，
∴△ABD和△BCD是等邊三角形，
∴BD=AB=4，y=$\frac{1}{2}$（x-1+4）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（5-x）+$\frac{1}{2}$（4+8-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-4）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{33\sqrt{3}}{4}$；
③當(dāng)5≤x＜8時(shí)，如圖2所示
y=$\frac{1}{2}$（8-x+9-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{17}{4}$；
（3）當(dāng)1＜x≤4時(shí)，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，y隨x的增大而增大，
當(dāng)x=4時(shí)，y最大=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$；
當(dāng)4＜x＜5時(shí)，y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{33\sqrt{3}}{4}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{15\sqrt{3}}{8}$，
∴當(dāng)x=$\frac{9}{2}$時(shí)，y最大=$\frac{15\sqrt{3}}{8}$；
當(dāng)5≤x＜8時(shí)，y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{17}{4}$$\sqrt{3}$，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=5時(shí)，y最大=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$；
綜上所述：∵$\frac{15\sqrt{3}}{8}$＞$\frac{7\sqrt{3}}{4}$，
∴當(dāng)x=$\frac{9}{2}$時(shí)，y的值最大，最大值為$\frac{15\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形和梯形面積的計(jì)算等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，需要進(jìn)行分類討論才能得出結(jié)果．