Question

6．如圖，已知正方形ABCD，E是CB延長線上一點，連接DE，交AB于點F，過點B作BG⊥DE于點G，連接AG．
（1）依題意補全圖形；
（2）求證：∠ABG=∠ADE；
（3）寫出DG，AG，BG之間的等量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）依題意補全圖形；
（2）由平行得內(nèi)錯角相等，再根據(jù)同角的余角相等得結(jié)論；
（3）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△ABG≌△ADH，得AG=AH，且得△AGH是等腰直角三角形，得
GH=$\sqrt{2}$AG，則DG=DH+GH=$\sqrt{2}$AG+BG．

解答 解：（1）補全圖形，如圖1；
（2）證明∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠ADE，
∵∠ABC=90°，
∴∠FBE=90°，
∴∠ABG+∠EBG=90°，
∵BG⊥DE于點G，
∴∠DEC+∠EBG=90°，
∴∠ABG=∠DEC，
∴∠ABG=∠ADE；
（3）DG=$\sqrt{2}$AG+BG，理由是：
如圖2，在DE上截取DH=BG，連接AH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AB=AD，
∵∠ABG=∠ADH（已證），
∴△ABG≌△ADH（SAS），
∴AG=AH，∠GAB=∠HAD，
∴∠GAH=90°，
∴AG²+AH²=GH²，
∴GH=$\sqrt{2}$AG，
∴DG=DH+GH=$\sqrt{2}$AG+BG．

點評 本題考查了正方形、全等三角形的性質(zhì)和判定，運用了勾股定理證明線段之間的關(guān)系；在幾何證明中常常會添加輔助線，本題是截取線段相等，構(gòu)建了兩個三角形全等，把三條線段的位置轉(zhuǎn)化到同一條線段上，使問題得以解決．