Question

如圖，已知拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C點(diǎn)，將拋物線沿對(duì)稱(chēng)軸向上平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后與線段BC交于D，E兩個(gè)不同的點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專(zhuān)題：

分析：首先求出拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線BC的解析式，進(jìn)而利用函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，利用根的判別式得出k的取值范圍．

解答：解：∵拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C點(diǎn)，
∴y=0時(shí)，0=x²-2x-3
解得：x₁=-1，x₂=3，
故A（-1，0），B（3，0），
當(dāng)x=0，y=-3，
故C（0，-3），
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
則

3k+b=0 b=-3

，
解得：

k=1 b=-3

，
故直線BC的解析式為：y=x-3，
設(shè)平移后解析式為：y=x²-2x-3+k，
則

y=x-3 y=x2-2x-3+k

，
則x-3=x²-2x-3+k，
x²-3x+k=0，
∵將拋物線沿對(duì)稱(chēng)軸向上平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后與線段BC交于D，E兩個(gè)不同的點(diǎn)，
∴△=b²-4ac=9-4k＞0，
則k＜

9

4

，
故k的取值范圍是：0＜k＜

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，得出△=b²-4ac=9-4k＞0是解題關(guān)鍵．