Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+4x+c（a≠0）與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為5，拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，6），A是拋物線的頂點(diǎn)，P和Q分別是x軸和y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AQ+QP+PB的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)題意求得B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，從而求得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，求得A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（-2，10），B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′為（5，-1），根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可判斷AQ+QP+PB=A′B′是AQ+QP+PB的最小值，利用勾股定理求得即可．

∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝的圖象，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為5，

∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為：y＝＝1，

∴B（5，1），

∵拋物線y＝ax2+4x+c（a≠0）與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），

∴，解得，

∴拋物線為y＝﹣x2+4x+6，

∵y＝﹣x2+4x+6＝﹣（x﹣2）2+10，

∴A（2，10），

∴A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（﹣2，10），

∵B（5，1），

∴B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′為（5，﹣1），

連接A′B′交x軸于P，交y軸于Q，此時(shí)AQ+QP+PB的值最小，即AQ+QP+PB＝A′B′，

A′B′＝＝，

故AQ+QP+PB的最小值為．