Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C在y軸的正半軸上，D是BC邊上的一點(diǎn)，OC：CD＝5：3，DB＝6．反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，AE：BE＝1：2．

（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P在矩形OABC內(nèi)，且滿足S△PAO＝S四邊形OABC．

①若點(diǎn)P在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)使得以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）①（ ，4）；②（6，9）或（9﹣2 ，﹣1）．

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，n），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m﹣6，n），利用反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出m的值，之后進(jìn)一步求出n的值，然后進(jìn)一步求解即可；

（2）根據(jù)三角形的面積公式與矩形的面積公式結(jié)合S△PAO＝S四邊形OABC即可進(jìn)一步求出P的縱坐標(biāo).①若點(diǎn)P在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)及點(diǎn)P的總坐標(biāo)可得出AP≠BP，進(jìn)而可得出AB不能為對(duì)角線，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，4），分AP＝AB和BP＝AB兩種情況考慮：（i）當(dāng)AB＝AP時(shí)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出t值，進(jìn)而可得出點(diǎn)P1的坐標(biāo)，結(jié)合P1Q1的長(zhǎng)可求出點(diǎn)Q1的坐標(biāo)；（ii）當(dāng)BP＝AB時(shí)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出t值，進(jìn)而可得出點(diǎn)P2的坐標(biāo)，結(jié)合P2Q2的長(zhǎng)可求出點(diǎn)Q2的坐標(biāo)．

（1）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，n），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m﹣6，n）．

∵點(diǎn)D，E在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，

∴k＝mn＝（m﹣6）n，

∴m＝9．

∵OC：CD＝5：3，

∴n：（m﹣6）＝5：3，

∴n＝5，

∴k＝mn＝×9×5＝15，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝．

（2）∵S△PAO＝S四邊形OABC，

∴OAyP＝OAOC，

∴yP＝OC＝4．

當(dāng)y＝4時(shí)，＝4，

解得：x＝，

∴若點(diǎn)P在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，4）．

②由（1）可知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（9，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，5），

∵yP＝4，yA+yB＝5，

∴，

∴AP≠BP，

∴AB不能為對(duì)角線．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，4）．

分AP＝AB和BP＝AB兩種情況考慮（如圖所示）：

（i）當(dāng)AB＝AP時(shí)，（9﹣t）2+（4﹣0）2＝52，

解得：t1＝6，t2＝12（舍去），

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（6，4）．

又∵P1Q1＝AB＝5，

∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（6，9）；

（ii）當(dāng)BP＝AB時(shí)，（9﹣t）2+（5﹣4）2＝52，

解得：t3＝9﹣2，t4＝9+2（舍去），

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（9﹣2，4）．

又∵P2Q2＝AB＝5，

∴點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（9﹣2，﹣1）．

綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，9）或（9﹣2，﹣1）．