Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

求這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

已知(點(diǎn)在線段上)，有一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)沿線段以每秒個(gè)單位長度的速度移動(dòng)：同時(shí)另一個(gè)點(diǎn)以某一速度從點(diǎn)沿線段移動(dòng)，經(jīng)過的移動(dòng)，線段被垂直平分，求的值；

在的情況下，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn),使的值最小?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)存在，見解析

【解析】

（1）已知拋物線的2點(diǎn)，代入可直接求解；

（2）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，得出AD、AB的長，通過推導(dǎo)可證，利用相似得到的比例線段即可求得DQ、PD的長，從而得出t；

（3）根據(jù)軸對(duì)稱的最短路徑先作C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，即點(diǎn)A，連接AO與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M．

（1）拋物線與軸交于兩點(diǎn)

解這個(gè)方程組，得

拋物線的解析式為

這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為

拋物線與軸交于點(diǎn)

點(diǎn)的坐標(biāo)為

連接

線段被垂直平分

（3）存在

連接AQ交對(duì)稱軸于M，此時(shí)MQ+MC為最小，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N

∵DQ∥AB，

∴∠QDN=∠BAC

sin∠QDN=sin∠BAC=

∴，

∴QN=

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b

將點(diǎn)B(0，4)和點(diǎn)C(4，0)代入可求得：k=－1，b=4

∴直線BC的解析式為：y=－x+4

當(dāng)y=時(shí)，x=

∴Q(，)

同理可得：AQ的解析式為：y=

當(dāng)x=時(shí)，y=

∴M(，)