Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，與拋物線的對稱軸相交于點(diǎn).

（1）求該拋物線的表達(dá)式，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)在射線上，若與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1），點(diǎn)；（2）點(diǎn)；（3）或

【解析】

（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入表達(dá)式，解出a、b、c的值即可得到拋物線表達(dá)式，同理采用待定系數(shù)法求出直線BC解析式，即可求出與對稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H．先證∠EAH=∠ACO，則tan∠EAH=tan∠ACO=，設(shè)EH=t，則AH=2t，從而可得到E(-2+2t，t)，最后，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；

（3）先證明，再根據(jù)與相似分兩種情況討論，建立方程求出AF，利用三角函數(shù)即可求出F點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為.

把，和代入得

，解得，

拋物線的表達(dá)式，

∴拋物線對稱軸為

設(shè)直線BC解析式為，

把和代入得

，解得

∴直線BC解析式為

當(dāng)時(shí)，

點(diǎn).

(2)如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H.

∵∠EAB+∠BAC=90°,∠BAC+∠ACO=90°，

∴∠EAH=∠ACO.

∴tan∠EAH=tan∠ACO=.

設(shè)EH=t，則AH=2t，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2+2t,t).

將(2+2t,t)代入拋物線的解析式得：12(2+2t)2(2+2t)4=t，

解得：t=或t=0(舍去)

∴

（3）如圖所示，

，

.

，

，

.

由（2）中tan∠EAH=tan∠ACO可知，

.

和相似，分兩種情況討論：

①，即，

，

∵tan∠EAB=

∴sin∠EAB=

∴F點(diǎn)的縱坐標(biāo)=

點(diǎn).

②，即，

，

同①可得F點(diǎn)縱坐標(biāo)=

橫坐標(biāo)=

點(diǎn).

綜合①②，點(diǎn)或.