【題目】在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn),∠EDF=120°,DE與線段AB相交于點(diǎn)E,DF與線段AC(或AC的延長(zhǎng)線)相交于點(diǎn)F.
(1)如圖(1)所示,若DF⊥AC,垂足為F,AB=4,求BE的長(zhǎng);
(2)如圖(2)所示,將(1)中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度,DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F,求證:BE+CF=AB;
(3)如圖(3)所示,將(2)中的∠EDF繼續(xù)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度,使DF與線段AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,作DN⊥AC于點(diǎn)N,若DN=FN,求證:BE+CF=(BE-CF).
【答案】(1)BE=1;(2)詳見解析;(3)詳見解析.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得出DE⊥AB,從而得到BE的長(zhǎng)度;
(2)取AB得中點(diǎn)G,連接DG,得出DG為△ABC的中位線,則DG=DC,∠BGD=∠C=60°,根據(jù)四邊形對(duì)角互補(bǔ)得出∠GED=∠DFC,從而得到△DEG≌△DFC,得到BG=CF,得出答案;
(3)取AB得中點(diǎn)G,連接DG,同(2),易證△DEG≌△DFC,得出EG=CF,設(shè)CN=x,根據(jù)Rt△DCN得出CD=2x,DN=x,根據(jù)題意得出EG、BE與x的關(guān)系,從而進(jìn)行證明.
試題解析:(1)由四邊形AEDF的內(nèi)角和為360°,可知DE⊥AB,故BE=2
(2)取AB的中點(diǎn)G,連接DG
易證:DG為△ABC的中位線,故DG=DC,∠BGD=∠C=60°
又四邊形AEDF的對(duì)角互補(bǔ),故∠GED=∠DFC
∴△DEG≌△DFC
故EG=CF
∴BE+CF=BE+EG=BG=AB
(3)取AB的中點(diǎn)G,連接DG
同(2),易證△DEG≌△DFC
故EG=CF
故BE-CF=BE-EG=BG=AB
設(shè)CN=x
在Rt△DCN中,CD=2x,DN=x
在RT△DFN中,NF=DN=x,故EG=CF=(-1)x
BE=BG+EG=DC+CF=2x+(-1)x=(+1)x
故BE+CF=(+1)x+(-1)x=2x
(BE-CF)=[(+1)x-(-1)]=2x
故BE+CF=(BE-CF)
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【題目】下列式子滿足完全平方公式的是()
A.(3x﹣y)(﹣y﹣3x)
B.(3x﹣y)(3x+y)
C.(﹣3x﹣y)(y﹣3x)
D.(﹣3x﹣y)(y+3x)
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【題目】拋 物 線 y=x2-4的 頂 點(diǎn) 坐 標(biāo) 是 ( )
A. (2,0) B. (0,—4) C. (1,—3) D. (—2,0)
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【題目】x軸將坐標(biāo)平面分為兩部分,x軸上方的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正數(shù),x軸下方的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為______;y軸把坐標(biāo)平面分為兩部分,y軸左側(cè)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_____,y軸右側(cè)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_____.規(guī)定原點(diǎn)坐標(biāo)是_____.
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【題目】如圖,△ABC中,∠A=96°,D是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),∠ABC與∠ACD(△ACB的外角)的平分線交于A1點(diǎn),則∠A1=_______度;如果∠A=α,按以上的方法依次作出∠BA2C,∠BA3C…∠BAnC(n為正整數(shù)),則∠An=_______度(用含α的代數(shù)式表示).
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC,交CD于點(diǎn)E、F,AE、BF相交于點(diǎn)M.
(1)試說明:AE⊥BF;
(2)判斷線段DF與CE的大小關(guān)系,并予以說明.
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【題目】若正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(k,9),且經(jīng)過第一、三象限,則k的值是( 。
A. ﹣9B. ﹣3C. 3D. ﹣3或3
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【題目】規(guī)定兩數(shù)a,b之間的一種運(yùn)算,記作(a,b):如果,那么(a,b)=c.
例如:因?yàn)?3=8,所以(2,8)=3.
(1)根據(jù)上述規(guī)定,填空:
(3,27)=_______,(5,1)=_______,(2,)=_______.
(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象:(3n,4n)=(3,4)小明給出了如下的證明:
設(shè)(3n,4n)=x,則(3n)x=4n,即(3x)n=4n
所以3x=4,即(3,4)=x,
所以(3n,4n)=(3,4).
請(qǐng)你嘗試運(yùn)用這種方法證明下面這個(gè)等式:(3,4)+(3,5)=(3,20)
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