Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對(duì)角線AC=10，OA、OC是方程x²-2（k+3）+12k=0的兩根，且OA＞OC，點(diǎn)D在BC上，直線l平分矩形OABC的面積．
（1）若S_△ACD=6時(shí)，求D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若直線l經(jīng)過點(diǎn)D，求直線l的解析式；
（3）是否存在直線l，使l與坐標(biāo)軸圍成的三角形與△ABD相似？如果存在，直接寫出直線l的解析式；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)方程x²-2（k+3）x+12k=0的兩根為x₁，x₂，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=2（k+3），x₁•x₂=12k，根據(jù)勾股定理及完全平方公式得出方程[2（k+3）]²-2×12k=10²，解方程求出k=4，進(jìn)而求出OA=8，OC=6．設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，6），再根據(jù)S_△ACD=6，得出方程

1

2

x•6=6，解方程求出x的值，進(jìn)而得到
D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，當(dāng)直線l平分矩形OABC的面積時(shí)，l經(jīng)過矩形的中心，即對(duì)角線AC的中點(diǎn)．根據(jù)線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得對(duì)角線AC的中點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3）．設(shè)直線l的解析式為y=mx+n，將點(diǎn)（4，3），D（2，6）代入，利用待定系數(shù)法即可求出直線l的解析式；
（3）設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N．先由∠B=90°，AB=BD=6，得出△ABD是等腰直角三角形，于是當(dāng)△OMN與△ABD相似時(shí)，△OMN也是等腰直角三角形．再分兩種情況情況討論：①點(diǎn)N在y軸正半軸上；②點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸上．

解答：解：（1）設(shè)方程x²-2（k+3）x+12k=0的兩根為x₁，x₂，
則x₁+x₂=2（k+3），x₁•x₂=12k，
∵

x

2 1

+

x

2 2

=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=10²，
∴[2（k+3）]²-2×12k=10²，
解得k₁=4，k₂=-4（不合題意舍去），
∴k=4，
解方程x²-14x+48=0，得x₁=6，x₂=8，
由題意得OA=8，OC=6．
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，6）．
∵S_△ACD=6，
∴

1

2

x•6=6，
解得x=2，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6）；

（2）∵直線l平分矩形OABC的面積，
∴直線l經(jīng)過矩形的中心，即對(duì)角線AC的中點(diǎn)．
∵A（8，0），C（0，6），
∴對(duì)角線AC的中點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3）．
設(shè)直線l的解析式為y=mx+n，
∵直線l經(jīng)過點(diǎn)（4，3），D（2，6），
∴

4m+n=3 2m+n=6

，
解得

m=- 3 2 n=9

，
∴直線l的解析式為y=-

3

2

x+9；

（3）存在直線l，能夠使l與坐標(biāo)軸圍成的三角形與△ABD相似．
設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，如圖．
△ABD中，∵∠B=90°，AB=6，BD=BC-CD=8-2=6，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴當(dāng)△OMN與△ABD相似時(shí)，△OMN也是等腰直角三角形．
分兩種情況：
①如果點(diǎn)N在y軸正半軸上，設(shè)直線l的解析式為y=-x+p，
將點(diǎn)（4，3）代入，得3=-4+p，解得p=7，直線l的解析式為y=-x+7；
②如果點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸上，設(shè)直線l的解析式為y=x+q，
將點(diǎn)（4，3）代入，得3=4+q，解得q=-1，直線l的解析式為y=x-1；
綜上所述，存在直線l，使l與坐標(biāo)軸圍成的三角形與△ABD相似，此時(shí)直線l的解析式為l₁：y=-x+7或l₂：y=x-1．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題，其中涉及到矩形的性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，待定系數(shù)法求直線的解析式，三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用方程思想及分類討論是解題的關(guān)鍵．