Question

19．關于x的方程x²+（2k+1）x+k²+2=0有兩個實數根x₁、x₂
（1）求實數k的取值范圍；
（2）若x₁、x₂滿足|x₁|+|x₂|=|x₁x₂|-1，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據判別式的意義得到△=（2k+1）²-4（k²+2）≥0，然后解不等式即可；
（2）根據根與系數的關系得到x₁+x₂=-（2k+1）＜0，x₁x₂=k²+2＞0，則利用有理數的乘法性質可判斷x₁＜0，x₂＜0，然后去絕對值得到-（x₁+x₂）=x₁x₂-1，則2k+1=k²+2-1，整理得到k²-2k=0，再解關于k的方程即可得到滿足條件的k的值．

解答 解：（1）根據題意得△=（2k+1）²-4（k²+2）≥0，
解得k≥$\frac{7}{4}$；
（2）根據題意得x₁+x₂=-（2k+1）＜0，x₁x₂=k²+2＞0，
∴x₁＜0，x₂＜0，
∵|x₁|+|x₂|=|x₁x₂|-1，
∴-（x₁+x₂）=x₁x₂-1，
∴2k+1=k²+2-1，
整理得k²-2k=0，解得k₁=0，k₂=2，
∵k≥$\frac{7}{4}$，
∴k=2．

點評 本題考查了根與系數的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．