Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A、C在雙曲線(xiàn)上，點(diǎn) B、D在雙曲線(xiàn)上，AD// BC//y 軸.

(I)當(dāng)m=6，n=-3，AD=3 時(shí)，求此時(shí)點(diǎn) A 的坐標(biāo)；

(II)若點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，試判斷四邊形 ABCD的形狀，并說(shuō)明理由；

(III)若AD=3，BC=4，梯形ABCD的面積為，求mn 的最小值.

Answer 1

【答案】(I) 點(diǎn)的坐標(biāo)為；(II) 四邊形是平行四邊形，理由見(jiàn)解析；(III) 的最小值是.

【解析】

(I)由，，可得，.分別表示出點(diǎn)A、D的坐標(biāo)，根據(jù)，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo).

(II)根據(jù)點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，即可分別表示出B、C、D的坐標(biāo)，然后可得出與互相平分可證明出四邊形是平行四邊形.

(III) 設(shè)與的距離為，由，，梯形的面積為，可求出h=7，根據(jù)，，可得，進(jìn)而得出答案.

(I) ∵，，∴，，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由得：，解得：，

∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(II)四邊形是平行四邊形，理由如下：

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵∥∥軸，且點(diǎn)、在雙曲線(xiàn)上，，

∴點(diǎn) ，點(diǎn) ，

∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，即，且、、三點(diǎn)共線(xiàn).

又點(diǎn)、C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，即，且、、三點(diǎn)共線(xiàn).

∴與互相平分.

∴四邊形是平行四邊形.

(III)設(shè)與的距離為，，，梯形的面積為，

∴，即，解得：，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，，，

由，，可得：，

則，，

∴，解得：，

∴，

∵.

∴ .

∴，即 .

又，，

∴當(dāng) 取到等號(hào) .

即，時(shí)， 的最小值是.