Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠O）經過X軸上的兩點A（x₁，0）、B（x₂，0）和y軸上的點C（0，），⊙P的圓心P在y軸上，且經過B、C兩點，若b=a，AB=2，
（1）求拋物線的解析式；
（2）設D在拋物線上，且C，D兩點關于拋物線的對稱軸對稱，問直線BD是否經過圓心P，并說明理由；
（3）設直線BD交⊙P于另一點E，求經過E點的⊙P的切線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）把已知坐標C代入求得c=，又b=a，AB=2，ax²+ax-=0，|x₁-x₂|=求得a的值，即求出拋物線的解析式．
（2）已知D點坐標，可求直線BD的解析式，連接BP，設⊙P的半徑為R，求出R，P的值即可．
（3）過點E作EF⊥y軸于F，可求得△OPB≌△FPE，求出點P的坐標．然后求得P E²=P F•PQ，根據關系求解．
解答：解：（1）∵軸上的點C（0，），
∴c=，
又∵b=a，AB=2，令ax²+ax-=0，|x₁-x₂|=，
解得：a=，b=；
∴拋物線的解析式是：y=．（4分）

（2）D（-，-），
直線B D為：y=，
連接BP，設⊙P的半徑為R，
，R=1，P（0，-），（7分）
點P的坐標滿足直線BD的解析式y(tǒng)=．
∴直線B D經過圓心P．（8分）

（3）過點E作EF⊥y軸于F，得△OPB≌△FPE，
E（），（9分）
設經過E點⊙P的切線L交y軸于點Q．
則∠P EQ=9 0°，EF⊥PQ，
∴P E²=P F•PQ，
∴PQ=2，Q（0，-2.5），（11分）
∴切線L為：y=-．（12分）
點評：本題考查的是圓的切線的有關知識，全等三角形的判定，二次函數的綜合應用．難度較大．