Question

等腰Rt△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．
（1）若△ABC以每秒2個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，⊙O不動(dòng)，則經(jīng)過(guò)多少時(shí)間△ABC的邊與圓第一次相切？
（2）若兩個(gè)圖形同時(shí)向右移動(dòng)，△ABC的速度為每秒2個(gè)單位，⊙O的速度為每秒1個(gè)單位，則經(jīng)過(guò)多少時(shí)間△ABC的邊與圓第一次相切？
（3）若兩個(gè)圖形同時(shí)向右移動(dòng)，△ABC的速度為每秒2個(gè)單位，⊙O的速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)△ABC的邊長(zhǎng)AB、BC都以每秒0.5個(gè)單位沿BA、BC方向增大．△ABC的邊與圓第一次相切時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)了多少距離？

Answer 1

【答案】分析：（1）分析易得，第一次相切時(shí)，與斜邊相切，假設(shè)此時(shí)，△ABC移至△A′B′C′處，A′C′與⊙O切于點(diǎn)E，連OE并延長(zhǎng)，交B′C′于F．由切線長(zhǎng)定理易得CC′的長(zhǎng)，進(jìn)而由三角形運(yùn)動(dòng)的速度可得答案；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，根據(jù)三角形與圓第一次相切時(shí)三角形所走的路程等于AB與⊙O之間的距離加上⊙O所經(jīng)過(guò)的路程解答．
（3）求出相切的時(shí)間，進(jìn)而得出B點(diǎn)移動(dòng)的距離．
解答：解：（1）假設(shè)第一次相切時(shí)，△ABC移至△A′B′C′處，
A′C′與⊙O切于點(diǎn)E，連OE并延長(zhǎng)，交B′C′于F．
設(shè)⊙O與直線l切于點(diǎn)D，連OD，則OE⊥A′C′，OD⊥直線l．由切線長(zhǎng)定理可知C′E=C′D；
設(shè)C′D=x，則C′E=x，易知C′F=x，
∴x+x=1，則x=-1，
∴CC′=BD-C′D-C′F=5-1-（-1）=5-；
∴點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒△ABC的邊與圓第一次相切，
設(shè)經(jīng)過(guò)t秒△ABC的邊與⊙O第一次相切時(shí)，△ABC移至△A′B′C′處，⊙O與BC所在直線的切點(diǎn)D移至D′處，
A′C′與⊙O切于點(diǎn)E，連OE并延長(zhǎng)，交B′C′于F．
∵CC′=2t，DD′=t，∴CD′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t．
由切線長(zhǎng)定理得C′E=C′D′=4-t；
又∵FC′= C′E=C′D′
而FC′+C′D′=FD′=1
∴（+1）C′D′=（ +1）（4-t）=1
解得：t=5-
答：經(jīng)過(guò)5-秒△ABC的邊與圓第一次相切；

（3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t，DD′=t，
則C′D=CD+DD′-CC′=4+t-2.5t=4-1.5t．
∵FC′=C′E=C′D′，F(xiàn)C′+C′D′=FD′=1，
∴（+1）C′D′=（+1）（4-1.5t）=1
解得：t=，
∴點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的距離為2×=．
點(diǎn)評(píng)：本題要求學(xué)生熟練掌握?qǐng)A與直線的位置關(guān)系，并結(jié)合常見(jiàn)的函數(shù)進(jìn)行綜合分析，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的分析能力．