【題目】如圖1,已知△ABC中,AB=10cmAC=8cmBC=6cm.如果點(diǎn)PB出發(fā)沿BA方向點(diǎn)A勻速運(yùn)動,同時點(diǎn)QA出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動,它們的速度均為2cm/s.連接PQ,設(shè)運(yùn)動的時間為t(單位:s)(0≤t≤4).解答下列問題:

1)當(dāng)t為何值時,PQ∥BC

2)設(shè)△AQP面積為S(單位:cm2),當(dāng)t為何值時,S取得最大值,并求出最大值.

3)是否存在某時刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分?若存在,求出此時t的值;若不存在,請說明理由.

4)如圖2,把△AQP沿AP翻折,得到四邊形AQPQ′.那么是否存在某時刻t,使四邊形AQPQ′為菱形?若存在,求出此時菱形的面積;若不存在,請說明理由.

【答案】1s2)當(dāng)t=s時,S取得最大值,最大值為cm23)不存在。理由見解析(4)存在,cm2

【解析】

解:∵AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,

由勾股定理逆定理得△ABC為直角三角形,∠C為直角。

1BP=2t,則AP=10﹣2t

PQ∥BC,則,即,解得

當(dāng)s時,PQ∥BC

2)如圖1所示,過P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D。

PD∥BC,∴△APD∽△ABC

,即,解得。

∴S=×AQ×PD=×2t×

。

當(dāng)t=s時,S取得最大值,最大值為cm2。

3)不存在。理由如下:

假設(shè)存在某時刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分,

則有SAQP=SABC,而SABC=ACBC=24,此時SAQP=12。

由(2)可知,SAQP=,=12,化簡得:t2﹣5t+10=0

∵△=﹣52﹣4×1×10=﹣150,此方程無解,

不存在某時刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分。

4)存在。

假設(shè)存在時刻t,使四邊形AQPQ′為菱形,

則有AQ=PQ=BP=2t。

如圖2所示,過P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D,

則有PD∥BC

∴△APD∽△ABC。

,即。

解得:PD=AD=,

∴QD=AD﹣AQ=。

Rt△PQD中,由勾股定理得:QD2+PD2=PQ2,即(2+2=2t2,

化簡得:13t2﹣90t+125=0,解得:t1=5,t2=。

∵t=5s時,AQ=10cmAC,不符合題意,舍去,∴t=

由(2)可知,SAQP=

∴S菱形AQPQ′=2SAQP=2×=2×[﹣×2+6×]=。

存在時刻t=,使四邊形AQPQ′為菱形,此時菱形的面積為cm2

1)由PQ∥BC時的比例線段關(guān)系,列一元一次方程求解。

2)如圖1所示,過P點(diǎn)作PD⊥AC于點(diǎn)D,得△APD∽△ABC,由比例線段,求得PD,從而可以得到S的表達(dá)式,然后利用二次函數(shù)的極值求得S的最大值。

3)利用(2)中求得的△AQP的面積表達(dá)式,再由線段PQ恰好把△ABC的面積平分,列出一元二次方程;由于此一元二次方程的判別式小于0,則可以得出結(jié)論:不存在這樣的某時刻t,使線段PQ恰好把△ABC的面積平分。

4)根據(jù)菱形的性質(zhì)及相似三角形比例線段關(guān)系,求得PQ、QDPD的長度;然后在Rt△PQD中,求得時間t的值;最后求菱形的面積,值得注意的是菱形的面積等于△AQP面積的2倍,從而可以利用(2)中△AQP面積的表達(dá)式,這樣可以化簡計(jì)算。

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)求拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)及A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(Ⅱ)將拋物線y=x2﹣6x+9向上平移1個單位長度,再向左平移t(t>0)個單位長度得到新拋物線,若新拋物線的頂點(diǎn)EDAC內(nèi),求t的取值范圍;

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組別

分?jǐn)?shù)段

頻次

頻率

A

60x<70

17

0.17

B

70x<80

30

a

C

80x<90

b

0.45

D

90x<100

8

0.08

請根據(jù)所給信息,解答以下問題:

(1)表中a=___b=___;

(2)請計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中B組對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù);

(3)已知有四名同學(xué)均取得98分的最好成績,其中包括來自同一班級的甲、乙兩名同學(xué),學(xué)校將從這四名同學(xué)中隨機(jī)選出兩名參加市級比賽,請用列表法或畫樹狀圖法求甲、乙兩名同學(xué)都被選中的概率。

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甲:,,,,,,

乙:,,,,

丙:,,,,

三家廣告中都稱該種產(chǎn)品的使用壽命是年,請根據(jù)調(diào)查結(jié)果判斷三個廠家在廣告中分別運(yùn)用了平均數(shù),眾數(shù)和中位數(shù)的哪一種數(shù)據(jù)作代表.

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根據(jù)以上信息,解答下列問題:

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)在條形統(tǒng)計(jì)圖中,請把空缺部分補(bǔ)充完整.

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)該班學(xué)生所穿校服型號的眾數(shù)為 ,中位數(shù)為

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