Question

【題目】如圖1，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D是BC邊的中點連接AD，則易證AD＝BD＝CD，即AD＝BC；如圖2，若將題中AB＝AC這個條件刪去，此時AD仍然等于BC．

理由如下：延長AD到H，使得AH＝2AD，連接CH，先證得△ABD≌△CHD，此時若能證得△ABC≌△CHA，

即可證得AH＝BC，此時AD＝BC，由此可見倍長過中點的線段是我們?nèi)�角形證明中常用的方法．

（1）請你先證明△ABC≌△CHA，并用一句話總結(jié)題中的結(jié)論；

（2）現(xiàn)將圖1中△ABC折疊（如圖3），點A與點D重合，折痕為EF，此時不難看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2+DF2＝EF2，因此BE2+CF2＝EF2，若圖2中△ABC也進行這樣的折疊（如圖4），此時線段BE、CF、EF還有這樣的關(guān)系式嗎？若有，請證明；若沒有，請舉反例．

（3）在（2）的條件下，將圖3中的△DEF繞著點D旋轉(zhuǎn)（如圖5），射線DE、DF分別交AB、AC于點E、F，此時（2）中結(jié)論還成立嗎？請說明理由．圖4中的△DEF也這樣旋轉(zhuǎn)（如圖6），直接寫出上面的關(guān)系式是否成立．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）有這樣分關(guān)系式；（3）EF2＝BE2+CF2.

【解析】

（1）想辦法證明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS證明△ABC≌△CHA即可．

（2）有這樣分關(guān)系式．如圖4中，延長ED到H山頂DH＝DE．證明△EDB≌△HD（SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)即可解決問題．

（3）圖5，圖6中，上面的關(guān)系式仍然成立．

（1）證明：如圖2中，

∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，

∴△ADB≌△HDC（SAS），

∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，

∴AB∥CH，

∴∠BAC+∠ACH＝180°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ACH＝∠BAC＝90°，

∵AC＝CA，

∴△BAC≌△HCA（SAS），

∴AH＝BC，

∴AD＝DH＝BD＝DC，

∴AD＝BC．

結(jié)論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．

（2）解：有這樣分關(guān)系式．

理由：如圖4中，延長ED到H山頂DH＝DE．

∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，

∴△EDB≌△HDC（SAS），

∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，

∵∠B+∠ACB＝90°，

∴∠ACB+∠HCD＝90°，

∴∠FCH＝90°，

∴FH2＝CF2+CH2，

∵DF⊥EH，ED＝DH，

∴EF＝FH，

∴EF2＝BE2+CF2．

（3）圖5，圖6中，上面的關(guān)系式仍然成立．結(jié)論：EF2＝BE2+CF2．

證明方法類似（2）．