Question

19．如圖，正方形ABCD中，以BC為直徑作半圓，BC=2cm，現(xiàn)有兩動點(diǎn)E、F，分別從點(diǎn)B、點(diǎn)A同時出發(fā)，點(diǎn)E沿線段BA以1cm/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)F沿折線A-D-C以2cm/秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)A點(diǎn)時，E、F同時停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動時間為t．

（1）當(dāng)t為何值時，四邊形ADEF是矩形？
（2）設(shè)1＜t＜2，當(dāng)t為何值時，EF與半圓相切？
（3）如圖2，將圖形放在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)1＜t＜2時，設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P，某雙曲線一個分支經(jīng)過點(diǎn)P，并且與邊AB交于點(diǎn)H，求該雙曲線的函數(shù)關(guān)系式及線段AH的長．

Answer 1

分析 （1）線段EF和BC平行時，AE=DF，2-t=2t-2，解方程就可以求出其t值．
（2）當(dāng)EF與半圓O相切時，根據(jù)切線的性質(zhì)，作輔助線如圖，利用勾股定理和切線長定理就可以求出其t的值．
（3）當(dāng)1≤t＜2時，△AEP∽△CFP，就可以求出點(diǎn)P的位置不會發(fā)生變化AP：PC=AE：CF是個定值為$\frac{1}{2}$，根據(jù)勾股定理求得AC=2$\sqrt{2}$，進(jìn)而得出CP=$\frac{4}{3}$，從而求得P的坐標(biāo)為（-$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），利用待定系數(shù)法即可求得雙曲線的函數(shù)關(guān)系式，把x=-2代入雙曲線的關(guān)系式得y=$\frac{8}{9}$，從而求得H的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)即可求得AH的值．

解答 解：（1）設(shè)E、F出發(fā)后經(jīng)過t秒時，四邊形ADEF為矩形，
此時BE=t，CF=4-2t，BE=CF，即t=4-2t，
∴t=$\frac{4}{3}$；

（2）如圖，設(shè)E、F出發(fā)后t秒時，EF與半圓相切，過F點(diǎn)作FK∥BC，交AB于K．
則BE=t，CF=4-2t，EK=EB-KB=EB-FC=t-（4-2t）=3t-4．
EF=BE+CF（切線長相等）=4-t
在Rt△EKF中，EF²=EK²+KF²=（4-t）²=（3t-4）²+2²
解得：t=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$或t=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，
∵1＜t＜2，∴t=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$；

（3）當(dāng)1＜t＜2時，
如圖：由$\frac{AE}{CF}$=$\frac{2-t}{4-2t}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB∥DC，
∴△APE∽△CPE  則$\frac{AP}{PC}$=$\frac{AE}{CE}=\frac{1}{2}$，
即點(diǎn)P的位置與t的數(shù)值無關(guān)．
∴點(diǎn)P的位置不會發(fā)生變化，AP：PC的值為$\frac{1}{2}$，
∵AB=BC=2，
∴AC=2$\sqrt{2}$，
∵AP：PC=1：2，
∴CP=$\frac{4}{3}$，
∴P（-$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
將P（-$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）代入雙曲線解析式y(tǒng)=$\frac{k}{x}$，得k=-$\frac{16}{9}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{16}{9x}$，
把x=-2代入得y=$\frac{8}{9}$，
∴H（-2，$\frac{8}{9}$），
∴AH=AB-BH=2-$\frac{8}{9}$=$\frac{10}{9}$．

點(diǎn)評 本題是反比例函數(shù)的綜合題，切線的性質(zhì)，切線長定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，三角形相似的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等，有一定的難度．