Question

9．如圖，一次函數(shù)y=-x+4的圖象與反比例y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求PA+PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（1，a）代入一次函數(shù)y=-x+4，即可得出a，再把點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，即可得出k，兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立求得點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）作點(diǎn)B作關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB=PA+PD=AD的值最小，然后根據(jù)勾股定理即可求得．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（1，a）代入一次函數(shù)y=-x+4，
得a=-1+4，
解得a=3，
∴A（1，3），
點(diǎn)A（1，3）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，
得k=3，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=$\frac{3}{x}$，
兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立列方程組得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得x₁=1，x₂=3，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（3，1）；

（2）作點(diǎn)B作關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)C，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB=PA+PD=AD的值最小，
∴D（3，-1），
∵A（1，3），
∴AD=$\sqrt{（3-1）^{2}+（-1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴PA+PB的最小值為2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)相交的有關(guān)問題；軸對稱-最短路線問題；解題關(guān)鍵在于點(diǎn)的坐標(biāo)的靈活運(yùn)用．