Question

14．如圖，已知⊙O的半徑是4cm，弦AB=4$\sqrt{2}$cm，AC是⊙O的切線，切AC=4cm，連接BC．
（1）證明：BC是⊙O的切線；
（2）把△ABC沿射線CO方向平移d cm（d＞0），使△ABC的邊所在的直線與⊙O相切，求d（5）的值．

Answer 1

分析 （1）連接OA、OB．作OD⊥AB于點D，由切線的性質(zhì)得出∠OAC=90°，由垂徑定理得出AD=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，在Rt△OAD中，求出∠AOD=45°，同理∠BOD=45°，證出AC∥OB，得出四邊形OABC為平行四邊形，證出四邊形OABC是矩形，得出OB⊥BC，即可得出結(jié)論；
（2）①延長DO交⊙O于E，把△ABC沿射線CO方向平移，使AB邊與⊙O相切，則平移的距離為DE的長，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出OD=AD=2$\sqrt{2}$，求出DE的長即可；②同①即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：連接OA、OB．作OD⊥AB于點D，如圖1所示：
∵AC是⊙O的切線，
∴OA⊥AC，即∠OAC=90°，
∵OD⊥AB，AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
在Rt△OAD中，$\frac{AD}{OA}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠AOD=45°，
同理∠BOD=45°，
∴∠BOA=90°，
∴∠OAC+∠BOA=180°，
∴AC∥OB，
∵AC=OB=4，
∴四邊形OABC為平行四邊形，
∵∠OAC=90°，
∴四邊形OABC是矩形，
∴∠OBC=90°，
即OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：①延長DO交⊙O于E，如圖2所示：
∵OD⊥AB，把△ABC沿射線CO方向平移，使AB邊與⊙O相切，
則平移的距離為DE的長，
∵在Rt△OAD中，∠AOD=45°，
∴OD=AD=2$\sqrt{2}$，
∵OE=4，
∴DE=OD+OE=2$\sqrt{2}$+4；
②如圖3所示：OC'=OC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，CC'=8$\sqrt{2}$cm；
綜上所述，d的值為（4+2$\sqrt{2}$）cm或8$\sqrt{2}$cm．

點評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、垂徑定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明四邊形是矩形是解決問題（1）的關(guān)鍵．