Question

2．如圖1，菱形ABCD中，AB=5，tan∠CAB=$\frac{1}{2}$，△EFG中，∠FEG=90°，EF=2，EG=1，將菱形ABCD與△EFG如圖擺放，使點A與E重合，F(xiàn)、A、E、B共線，現(xiàn)將△EFG沿著射線AC以每秒$\sqrt{5}$個單位的速度平移，當點E與點C重合時停止平移，設(shè)平移時間為t秒．

（1）求點C到AB的距離；
（2）在平移過程中，當△EFG與△ACD有重疊部分時，設(shè)重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式及對應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）如圖2，當△EFG停止平移時，將△EFG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α＜180°），在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)FG所在直線與AC所在直線交于點M，與AD所在直線交于點N，問△AMN能否為等腰三角形？若能，請求出GM的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作CH⊥AB于H，由tan∠CAB=$\frac{1}{2}$，得$\frac{CH}{AH}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)CH=x，則AH=2x，在Rt△CBH中，根據(jù)BC²=BH²+CH²，列出方程即可解決問題．
（2）分四種情形，①當0＜t≤$\frac{3}{5}$時，如圖3中，重疊部分是△EMK，②當$\frac{3}{5}$＜t≤$\frac{8}{5}$時，如圖4中，重疊部分是四邊形EGMK，③$\frac{8}{5}$＜t≤3時，重疊部分是△EFG，④當3＜t≤4時，如圖6中，重疊部分是四邊形EFKM，分別求解即可．
（3）分三種情形①如圖7中，當NA=NM時，作CH⊥FM于H．．②如圖8中，當AN=AM時，③如圖9中，當MA=MN時，分別求出MG即可、

解答 解：（1）如圖1中，作CH⊥AB于H，

∵tan∠CAB=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CH}{AH}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)CH=x，則AH=2x，
在Rt△CBH中，∵BC²=BH²+CH²，
∴5²=x²+（2x-5）²，
解得x=4或0（舍棄），
∴點C到AB的距離為4．

（2）如圖2中，當點G在AD上時，

由△GEK∽△CHB，得$\frac{GE}{CH}$=$\frac{KE}{BH}$，
∴$\frac{1}{4}$=$\frac{KE}{3}$，
∴KE=$\frac{3}{4}$，
∵KE∥CD，
∴$\frac{KE}{CD}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{\frac{3}{4}}{5}$=$\frac{AE}{4\sqrt{5}}$，
∴AE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，此時t=$\frac{3}{5}$，
∴當0＜t≤$\frac{3}{5}$時，如圖3中，重疊部分是△EMK，

∵KE∥CD，
∴$\frac{KE}{CD}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴KE=$\frac{5}{4}$t，ME=$\frac{5}{3}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$t×$\frac{5}{3}$t=$\frac{25}{24}$t²．

當$\frac{3}{5}$＜t≤$\frac{8}{5}$時，如圖4中，重疊部分是四邊形EGMK，

由△MKF∽△ADC，得$\frac{{S}_{△MKF}}{{S}_{△ADC}}$=（$\frac{FK}{CD}$）²，
∴S_△MKF=$\frac{5}{8}$t²-2t+$\frac{8}{5}$，
∴S=S_△FGE-S_△MKF=-$\frac{5}{8}$t²+2t-$\frac{3}{5}$．

如圖5中，當點G在CD上時，易知EG=1，CG=2，EC=$\sqrt{5}$，AE=3$\sqrt{5}$，此時t=3，

∴$\frac{8}{5}$＜t≤3時，重疊部分是△EFG，∴S=S_△EFG=1．

當3＜t≤4時，如圖6中，重疊部分是四邊形EFKM，

∵AE=$\sqrt{5}$t，
∴EC=4$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t，
∴EM=4-t，MG=1-（4-t）=t-3，
∴KM=2t-6，
∴S=S_△FEG-S_△KMG=-t²+6t-8．

綜上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{25}{24}{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{3}{5}）}\\{-\frac{5}{8}{t}^{2}+2t-\frac{3}{5}}&{（\frac{3}{5}＜t≤\frac{8}{5}）}\\{1}&{（\frac{8}{5}＜t≤3）}\\{-{t}^{2}+6t-8}&{（3＜t≤4）}\end{array}\right.$

（3）如圖7中，當NA=NM時，作CH⊥FM于H．

∵NA=NM，
∴∠NAM=∠M=∠CFG，
∴CF=CM=2，設(shè)CH=x，則HM=2x，
∴x²+（2x）²=2²，
∵x＞0，
∴x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴CH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，HM=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，GH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴GM=HM-HG=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
如圖8中，當AN=AM時，

∵AN=AM，
∴∠N=∠AMN，
∴∠MAN=∠CFM，
∴∠FCM=∠FMC，
∴FC=FM=2，
∴MG=FG-FM=$\sqrt{5}$-2．
如圖9中，當MA=MN時，

∵∠MAN=∠N=∠CFG，
∴FC∥AN，
∴∠FCM=∠MAN=∠MFC，
∴CM=FM，
∵∠CFM+∠G=90°，∠MCF+∠MCG=90°，
∴∠MCG=∠G，
∴CM=MG，
∴CM=FM=MG=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
綜上所述當MG=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$或$\sqrt{5}$-2或$\frac{\sqrt{5}}{2}$時，△AMN是等腰三角形．

點評 本題考查幾何變換、菱形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理、分段函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學會分類討論，學會畫出圖象解決問題，屬于中考壓軸題．