Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C（0，6），若拋物線的對稱軸為直線x=-

5

2

，且△ABC的面積為33．
（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在y軸的正半軸上，是否存在這樣的點P，使得以P、O、B為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）在直線BC上，是否存在這樣的點Q，使得點Q到直線AC的距離為5？若存在，請求出符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)點C的坐標(biāo)求出OC的長度，再根據(jù)△ABC的面積求出AB的長度，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出點A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）分OP和OA是對應(yīng)邊，OP與OC是對應(yīng)邊兩種情況，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OP的長，然后寫出點P的坐標(biāo)即可；
（3）過點B作BD⊥AC于D，利用勾股定理列式求出AC、BC，再利用△ABC的面積求出BD，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出CQ的長，過Q作QE⊥y軸，解直角三角形求出QE、CE，然后分點Q在點C的下方和上方兩種情況求出坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵C（0，6），
∴OC=6，
∴△ABC的面積=

1

2

AB×6=33，
解得AB=11，
∵拋物線的對稱軸為直線x=-

5

2

，
∴-

5

2

-

11

2

=-8，-

5

2

+

11

2

=3，
∴點A（-8，0），B（3，0），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B、C，
∴

64a-8b+c=0 9a+3b+c=0 c=6

，
解得

a=- 1 4 b=- 5 4 c=6

，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

4

x²-

5

4

x+6；

（2）∵A（-8，0），
∴OA=8，
①OP和OA是對應(yīng)邊時，△AOC∽△POB，
∴

OP

OA

=

OB

OC

，
即

OP

8

=

3

6

，
解得OP=4，
②OP與OC是對應(yīng)邊時，△AOC∽△BOP，
∴

OP

OC

=

OB

OA

，
即

OP

6

=

3

8

，
解得OP=

9

4

，
∵點P在y軸正半軸，
∴點P的坐標(biāo)為（0，4）或（0，

9

4

）；

（3）過點B作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AC=

OA2+OC2

=

82+62

=10，
BC=

OB2+OC2

=

32+62

=3

5

，
S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

×10•BD=33，
解得BD=

33

5

，
∵點Q到直線AC的距離為5，
∴

CQ

BC

=

5

BD

，
即

CQ

3 5

=

5

33 5

，
解得CQ=

25 5

11

，
過Q作QE⊥y軸，QE=CQ•sin∠OCB=

25 5

11

×

3

3 5

=

25

11

，
CE=CQ•cos∠OCB=

25 5

11

×

6

3 5

=

50

11

，
點Q在點C的下方時，點Q的縱坐標(biāo)為6-

50

11

=

16

11

，
此時，點Q的坐標(biāo)為（

25

11

，

16

11

），
點Q在點C的上方時，點Q的縱坐標(biāo)為6+

50

11

=

116

11

，
此時，點Q的坐標(biāo)為（

25

11

，

116

11

），
綜上所述，直線BC上存在點Q（

25

11

，

16

11

）或（

25

11

，

116

11

），使點Q到直線AC的距離為5．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了三角形的面積，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形，難點在于（2）（3）都要分情況討論．