Question

15．已知如圖，在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB邊上的高，在BE的延長(zhǎng)線上截取BM=AC，在CF的延長(zhǎng)線上截取CN=AB，請(qǐng)說明：
（1）AM=AN．
（2）AM⊥AN．

Answer 1

分析 （1）欲證明AM=AN，只要證明AMB≌△NAC即可．
（2）由△AMB≌△NAC，推出∠BAM=∠N，由∠N+∠NAF=90°即可推出∠BAM+∠NAF=90°，由此即可解決問題．

解答 證明：（1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∴∠ABE=∠ACF=90°-∠BAC，
在△AMB和△ANC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=AC}&{\;}\\{∠ABE=∠ACF}&{\;}\\{AB=CN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△NAC（SAS），
∴AM=AN；
（2）∵△AMB≌△NAC，
∴∠BAM=∠N，
∵∠N+∠NAF=90°，
∴∠BAM+∠NAF=90°，
∴∠MAN=90°，
∴AM⊥AN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂直定義，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．