Question

3．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y=ax²-ax+3交x軸的負(fù)半軸于點A，交x軸的正半軸于點B，交y軸的正半軸于點C，且A、B兩點之間的距離為5．
（1）如圖1，求a的值；
（2）如圖2，點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，連接PA，交y軸于點D，連接PC，若∠APC=2∠PAB，求點P的坐標(biāo)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點Q在第二象限內(nèi)的拋物線上，連接BQ，過點P作PM⊥BQ于點G，交y軸于點M，連接PQ、MQ，若PQ=DM，求Q點的坐標(biāo)及tan∠PMQ的值．

Answer 1

分析 （1）先求出拋物線對稱軸，確定出點E坐標(biāo)，從而求出點A，B坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先用銳角三角函數(shù)得出$\frac{CH}{PH}=\frac{PF}{AF}$，設(shè)出點P坐標(biāo)，建立方程求出點P的坐標(biāo)，即可；
（3）先判斷出∠PQG=∠DMN，從而得出PQ∥x軸，求出點Q坐標(biāo)，進(jìn)而求出DL，ML，即可．

解答 解：（1）∵拋物線的解析式為y=ax2-ax+3，
∴拋物線的對稱軸為x=$\frac{1}{2}$，
設(shè)對稱軸交x軸于點E，則E（$\frac{1}{2}$，0），
∵AB=5，
∴AE=BE=$\frac{5}{2}$，
∴A（-2，0），B（3，0），
∴4a+2a+3=0，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3，
（2）如圖2，

過P作PF⊥x軸于點F，作PH⊥y軸于H，
∴∠APH=∠PAB，
∵∠APC=2∠PAB，
∴∠APH=∠CPH=∠PAB，
∴tan∠CPH=tan∠PAB，
∴$\frac{CH}{PH}=\frac{PF}{AF}$，
設(shè)P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t+3），
∴$\frac{3-（-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{1}{2}t+3）}{t}$=$\frac{-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{1}{2}t+3}{t+2}$，
∴t=-2（舍）或t=2，
∴P（2，2），
（3）如圖3，

由（2）有，D（0，1），
過B作BK⊥PH于K，過D作DN⊥PM于N，
∵P（2，2），H（0，2），B（3，0），
∴PH=BK=2，DH=PK=1，∠K=∠PHD=90°，
∴△PHD≌△BKP，
∴DP=BP，
∵∠DPB=90°，
∴△DNP≌△PGB，
∴DN=PG，
∵PQ=DM，∠PGQ=∠DNM=90°，
∴RT△PGQ≌RT△DNM
∴∠PQG=∠DMN，
∵∠DMN=∠OBH，
∴∠PQG=∠OBH，
∴PQ∥x軸，
∴Q的縱坐標(biāo)為2，
∴-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3=2，
∴x=2（舍）或x=-1，
∴Q（-1，2），
設(shè)BQ交y軸于點L，
∵B（3，0），
∴直線BQ的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
∴L（0，$\frac{3}{2}$），
∴DL=$\frac{1}{2}$，
∵M(jìn)D=PQ=3，
∴ML=$\frac{7}{2}$，
∴tan∠PMQ=$\frac{QG}{MG}=\frac{MN}{MG}=\frac{MD}{ML}$=$\frac{3}{\frac{7}{2}}$=$\frac{6}{7}$．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是求出點P坐標(biāo)，用方程的思想解決問題是本題的難點．