【題目】在正方形ABCD中,連接BD.

(1)如圖1,AE⊥BD于E.直接寫出∠BAE的度數(shù).

(2)如圖1,在(1)的條件下,將△AEB以A旋轉(zhuǎn)中心,沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后得到△AB′E′,AB′與BD交于M,AE′的延長(zhǎng)線與BD交于N.

①依題意補(bǔ)全圖1;

②用等式表示線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

(3)如圖2,E、F是邊BC、CD上的點(diǎn),△CEF周長(zhǎng)是正方形ABCD周長(zhǎng)的一半,AE、AF分別與BD交于M、N,寫出判斷線段BM、DN、MN之間數(shù)量關(guān)系的思路.(不必寫出完整推理過(guò)程)

【答案】(1)∠BAE的度數(shù)為45°;(2)①補(bǔ)全圖見(jiàn)解析;②BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是BM2+MD2=MN2,理由見(jiàn)解析;(3)思路見(jiàn)解析.

【解析】(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可;

(2)依題意畫出如圖1所示的圖形,根據(jù)性質(zhì)和正方形的性質(zhì),判斷線段的關(guān)系,再利用勾股定理得到FB2+BM2=FM2,再判斷出FM=MN即可;

(3)利用△CEF周長(zhǎng)是正方形ABCD周長(zhǎng)的一半,判斷出EF=EG,再利用(2)證明即可.

解:(1)∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線,∴∠ABD=∠ADB=45°,

∵AE⊥BD,∴∠ABE=∠BAE=45°,

(2)①依題意補(bǔ)全圖形,如圖1所示,

②BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是BM2+MD2=MN2,

將△AND繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△AFB,

∴∠ADB=∠FBA,∠BAF=∠DAN,DN=BF,AF=AN,

∵在正方形ABCD中,AE⊥BD,∴∠ADB=∠ABD=45°,

∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°,

在Rt△BFM中,根據(jù)勾股定理得,F(xiàn)B2+BM2=FM2,

∵旋轉(zhuǎn)△ANE得到AB1E1,∴∠E1AB1=45°,∴∠BAB1+∠DAN=90°﹣45°=45°,

∵∠BAF=DAN,∴∠BAB1+∠BAF=45°,∴∠FAM=45°,∴∠FAM=∠E1AB1,

∵AM=AM,AF=AN,∴△AFM≌△ANM,∴FM=MN,

∵FB2+BM2=FM2,∴DN2+BM2=MN2,

(3)如圖2,

將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG,∴DF=GB,

∵正方形ABCD的周長(zhǎng)為4AB,△CEF周長(zhǎng)為EF+EC+CF,

∵△CEF周長(zhǎng)是正方形ABCD周長(zhǎng)的一半,∴4AB=2(EF+EC+CF),∴2AB=EF+EC+CF

∵EC=AB﹣BE,CF=AB﹣DF,∴2AB=EF+AB﹣BE+AB﹣DF,∴EF=DF+BE,

∵DF=GB,∴EF=GB+BE=GE,由旋轉(zhuǎn)得到AD=AG=AB,

∵AM=AM,∴△AEG≌△AEF,∠EAG=∠EAF=45°,和(2)的②一樣,得到DN2+BM2=MN2

“點(diǎn)睛”此題是四邊形綜合題,主要考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),三角形的全等,判斷出(△AFN≌△ANM,得到FM=MM),是解題的關(guān)鍵.

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