Question

10．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)AE并延長，交DC的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABE≌△FCE；
（2）當(dāng)∠ABF=90°時(shí)，∠AEC與∠D的數(shù)量關(guān)系是∠AEC=2∠D，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的對邊平行得到AB與DC平行，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對角相等，由E為BC的中點(diǎn)，得到兩條線段相等，再由對應(yīng)角相等，利用ASA可得出△ABE與△FCE全等；
（2）首先利用矩形的判定與性質(zhì)得出∠ABE+∠BAE=∠AEC，進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)得出答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE=∠ECF，
又∵E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ECF}\\{BE=CE}\\{∠AEB=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（ASA）；

（2）∠AEC=2∠D，
理由：∵△ABE≌△FCE，
∴AE=EF，BE=EC，
∴四邊形ABFC是平行四邊形，
∵∠ABF=90°，
∴平行四邊形ABFC是矩形，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠ABE，
∴∠ABE+∠BAE=∠AEC，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠ABE=∠D，
∴∠AEC=2∠D．
故答案為：∠AEC=2∠D．

點(diǎn)評 此題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．