Question

18．命題：“等腰三角形兩腰上的中線相等”的逆命題是兩邊中線相等的三角形是等腰三角形．這條逆命題是真命題（填“真”或“假”）

Answer 1

分析 先寫出已知、求證、畫出圖形，過E作EM⊥BC于M，過D作DN⊥BC于N，求出EM=DN，證Rt△EMC≌Rt△DNB，推出∠ECB=∠DBC，證△EBC≌△DCB，推出∠EBC=∠DCB即可．

解答 解：逆命題：兩邊中線相等的三角形是等腰三角形．
已知：如圖在△ABC中，BD、CE分別是邊AC和AB上的中線，CE=BD，求證：△ABC是等腰三角形，
證明：
過E作EM⊥BC于M，過D作DN⊥BC于N，
∵BD、CE分別是邊AC和AB上的中線，
∴S_△BEC=S_△BDC，
∴$\frac{1}{2}$BC×EM=$\frac{1}{2}$BC×DN，
∴EM=DN，
∵∠EMC=∠DNB=90°，
∴在Rt△EMC和Rt△DNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=BD}\\{EM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△EMC≌Rt△DNB（HL），
∴∠ECB=∠DBC，
在△EBC和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=BD}\\{∠ECB=∠DBC}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴∠EBC=∠DCB，
∴△ABC是等腰三角形．
故答案為兩邊中線相等的三角形是等腰三角形，真．

點評 本題考查了命題與定理以及等腰三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．