Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A、B的坐標分別為（16，8）、（0，8），線段CD在x軸上，CD=6，點C從原點出發(fā)沿x軸正方向以每秒2個單位長度向右平移，點D隨著點C同時同速同方向運動，過點D作x軸的垂線交線段AB于點E，交OA于點G，連接CE交OA于點F．設運動時間為t，當E點到達A點時，停止所有運動．
（1）求線段CE的長；
（2）記△CDE與△ABO公共部分的面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式；
（3）連接DF．當t取何值時，以C、F、D為頂點的三角形為等腰三角形？

Answer 1

考點：相似形綜合題,坐標與圖形性質,勾股定理,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）直接根據(jù)勾股定理求出CE的長即可；
（2）作FH⊥CD于H．，由AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD可知四邊形ODEB是矩形，故可用t表示出AE及BE的長，由相似三角形的判定定理可得出△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，由相似三角形的性質可用t表示出CF及EG的長，F(xiàn)H∥ED可得出•

HD

CD

=

EF

CE

，故可求出HD的長，由三角形的面積公式可求出S與t的關系式；
（3）由（2）知CF=2t，當CF=CD時，則t=3；當CF=DF時，由FH⊥CD，F(xiàn)H∥DE，可得出CF：CE=FH：DE，由此可得出t的值；當DF=CD時，作DK⊥CF于K，則CK=

1

2

CF=t，根據(jù)△CKD∽△CDE可得出t的值；

解答：解：（1）∵在Rt△CDE中，CD=6，DE=8，
∴CE=

CD2+DE2

=

62+82

=10；

（2）如答圖1，作FH⊥CD于H．
∵AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD，
∴四邊形ODEB是矩形，
∴BE=OD，
∵OC=2t，
∴BE=OD=OC+CD=2t+6，
∴AE=AB-BE=16-（2t+6）=10-2t，
∵AB∥OD，
∴△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，
∴

CF

EF

=

OC

AE

=

2t

10-2t

=

t

5-t

…①，

DG

EG

=

OD

AE

=

2t+6

10-2t

=

t+3

5-t

…②，
又∵CF+EF=10，DG+EG=8…③，
結合①②③，可得：CF=2t，EG=5-t，EF=10-2t，
∵FH∥ED，
∴

HD

CD

=

EF

CE

，
即HD=

EF

CE

•CD=

6

5

（5-t），
∴S=

1

2

EG•HD=

1

2

×（5-t）×

6

5

（5-t）=

3

5

t²-6T+15，
∵BE＜AB，
即：2t+6＜16，
∴t的取值范圍為：0≤t≤5；

（3）由（2）知CF=2t，
（i）當CF=CD時，則t=3；
（ii）如答圖2，當CF=DF時，
∵FH⊥CD，
∴CH=

1

2

CD，
又∵FH∥DE，
∴

CF

CE

=

FH

DE

，
∴CF=

1

2

CE=5
即t=

5

2

；
（iii）如答圖3，當DF=CD時，如圖作DK⊥CF于K，
則CK=

1

2

CF=t，
易得△CKD∽△CDE，
即：

CK

CD

=

CD

CE

即：

t

6

=

6

10

解得：t=

18

5

；
綜上，當t=3或

5

2

或

18

5

時，△CDF為等腰三角形；

點評：本題考查的是相似三角形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、等腰三角形的性質，涉及面較廣，難度較大．