Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，

3

），以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c恰好經(jīng)過x軸上A，B兩點(diǎn)．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過C作CE⊥AB于E，根據(jù)拋物線的對稱性知AE=BE；由于四邊形ABCD是菱形，易證得Rt△OAD≌Rt△EBC，則OA=AE=BE，可設(shè)菱形的邊長為2m，則AE=BE=1m，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理即可求出m的值，由此可確定A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)（1）題求得的三點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）由拋物線的對稱性可知AE=BE．
∴△AOD≌△BEC．
∴OA=EB=EA．
設(shè)菱形的邊長為2m，在Rt△AOD中，
m²+（

3

）²=（2m）²，解得m=1．
∴DC=2，OA=1，OB=3．
∴A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0），（2，

3

）．
（2）解法一：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+

3

，代入A的坐標(biāo)（1，0），得a=-

3

．
∴拋物線的解析式為y=-

3

（x-2）²+

3

．
解法二：設(shè)這個(gè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，由已知拋物線經(jīng)過A（1，0），B（3，0），C（2，

3

）三點(diǎn)，
得

a+b+c=0 9a+3b+c=0 4a+2b+c= 3

解這個(gè)方程組，得

a=- 3 b=4 3 c=-3 3

∴拋物線的解析式為y=-

3

x²+4

3

x-3

3

．

點(diǎn)評：此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、拋物線的對稱性、勾股定理以及二次函數(shù)圖象的平移，綜合性較強(qiáng)，難度適中．