Question

2．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC的外心，連接AD、CD．將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AEB，連接ED．
（1）求證：△AED∽△ABC；
（2）連接BD，判斷四邊形AEBD的形狀并證明．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得∠DAE=∠CAB、AE=AD，結(jié)合AB=AC根據(jù)$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$且∠DAE=∠CAB可證得；
（2）由三角形外心可得DB=DA=DC，結(jié)合△ADC≌△AEB知DB=DA=BE=AE，即可判定四邊形AEBD的形狀．

解答 證明：（1）∵△ADC 繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AEB，
∴△ADC≌△AEB．
∴∠BAE=∠CAD，AE=AD．
∴∠DAE=∠CAB．
∵AB=AC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$．
∴△AED∽△ABC．
（2）四邊形AEBD是菱形．
∵D是△ABC的外心，
∴DB=DA=DC．
又∵△ADC≌△AEB，
∴AE=AD，BE=DC．
∴DB=DA=BE=AE．
∴四邊形AEBD是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查相似三角形的判定及菱形的判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形外心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．