Question

18．如圖，已知銳角∠MBN的正切值等于3，△PBD中，∠BDP=90°，點D在∠MBN的邊BN上，點P在∠MBN內，PD=3，BD=9，直線l經(jīng)過點P，并繞點P旋轉，交射線BM于點A，交射線DN于點C，設$\frac{CA}{CP}$=x
（1）求x=2時，點A到BN的距離；
（2）設△ABC的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）當△ABC因l的旋轉成為等腰三角形時，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由PD∥AH得到$\frac{AH}{PD}=\frac{CA}{CP}$=2，即可；
（2）由PD∥AH得到$\frac{AH}{PD}=\frac{CA}{CP}$，再由tan∠MBN=3，比例式表示出BC，CD，即可；
（3）△ABC為等腰三角形時，分三種情況①AB=AC，②CB=CA，③BC=BA利用tan∠MBN=3，建立方程即可．

解答 解：（1）如圖1，

過點A作AH⊥BC，
∵PD⊥BC，
∴PD∥AH，
∴$\frac{AH}{PD}=\frac{CA}{CP}$=2，
∴AH=2PD=6，
（2）∵PD∥AH，
∴$\frac{CA}{CP}=\frac{AH}{PD}$=x，
∴AH=PD×x=3x，
∵tan∠MBN=3，
∴BH=3，
∵$\frac{CD}{HD}=\frac{PD}{AH}$，
∴$\frac{CD}{CD+9-x}=\frac{3}{3x}$，
∴CD=$\frac{9-x}{x-1}$，
∴BC=BD+CD=9+$\frac{9-x}{x-1}$=$\frac{8x}{x-1}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AH×BC=$\frac{1}{2}$×3x×$\frac{8x}{x-1}$=$\frac{1{2x}^{2}}{x-1}$，
∴y=$\frac{1{2x}^{2}}{x-1}$（1＜x≤9），
（3）①當AB=AC時，
∵tan∠PCB=tan∠MBC=3，
∴$\frac{PD}{CD}$=3，
∴CD=1，
∴BC=BD+CD=10，
∴$\frac{8x}{x-1}$=10，
∴x=5，
②當CB=CA時，如圖2，

過點C作CE⊥AB，
BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{10}}{2}$x，
∵tan∠MBN=3，
∴cos∠MBN=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}x}{\frac{8x}{x-1}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴x=$\frac{13}{5}$；
③當BA=BC時，$\sqrt{10}$x=$\frac{8x}{x-1}$，
∴x=1+$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
∴△ABC為等腰三角形時，x=5或$\frac{13}{5}$或1+$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

點評 此題是幾何變換的綜合題，主要考查平行線分線段成比例定理和銳角三角函數(shù)，由平行線分線段成比例定理建立方程是解本題的關鍵．