Question

如圖，已知，∠A=90°，D是AB上任意一點，BE⊥BC，∠BCD=∠DCA，EF⊥AB，求證：AD=BF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,角平分線的性質

專題：證明題

分析：過D作DG⊥BC，交BC于點G，由已知角相等，DA垂直于AC，DG垂直于BC，利用角平分線定理得到DA=DG，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ACD與三角形BCE相似，利用相似三角形對應角相等得到一對角相等，再由對應角相等，等量代換得到∠BDE=∠BED，利用等角對等邊得到BD=BE，利用AAS得到三角形BDG與三角形BEF全等，利用全等三角形的對應邊相等得到DG=BF，等量代換即可得證．

解答：證明：過D作DG⊥BC，交BC于點G，
∵∠BCD=∠DCA，DA⊥AC，DG⊥BC，
∴DA=DG，
∵BE⊥BC，
∴∠DBG+∠EBF=90°，
∵EF⊥AB，
∴∠EBF+∠BEF=90°，
∴∠DBG=∠BEF，
∵∠ACD=∠BCE，∠A=∠EBC=90°，
∴△ACD∽△BCE，
∴∠CDA=∠BEC，
∵∠CDA=∠BDE，
∴∠BEC=∠BDE，
∴BD=BE，
在△BDG和△BEF中，

∠BGD=∠EFB=90° ∠DBG=∠BEF BD=BE

，
∴△BDG≌△BEF（AAS），
∴DG=BF，
則AD=FB．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．