Question

【題目】如圖，為的直徑，直線于點(diǎn).點(diǎn)在上，分別連接，，且的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，為的切線交于點(diǎn).

（1）求證：；

（2）連接，若，，求線段的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得，由切線長(zhǎng)定理可證，從而，然后根據(jù)等角的余角相等得到，從而根據(jù)等腰三角形的判定定理得到結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC=8，再證明△ABC∽△ABD，利用相似比得到AD=，然后證明OF為△ABD的中位線，從而根據(jù)三角形中位線性質(zhì)求出OF的長(zhǎng)．

（1）證明：∵是的直徑，

∴（直徑所對(duì)的圓周角是），

∴，

∴，

∵是的直徑，于點(diǎn)，

∴是的切線（經(jīng)過(guò)半徑外端且與半徑垂直的直線是圓的切線），

∵是的切線，

∴（切線長(zhǎng)定理），

∴，

∵，，

∴，∴，

∵.

（2）由（1）可知，是直角三角形，在中，，，

根據(jù)勾股定理求得，

在和中

，

∴（兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似），

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴是的中位線，

∴（三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半）.