Question

【題目】如圖1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，M為BC邊上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AM，以點(diǎn)A為中心，將線段AM逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°，得到線段AN，連接BN．

（1）依題意補(bǔ)全圖2；

（2）求證：∠BAN＝∠AMB；

（3）點(diǎn)P在線段BC的延長線上，點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為Q，寫出一個(gè)PC的值，使得對于任意的點(diǎn)M，總有AQ＝BN，并證明．

Answer 1

【答案】（1）圖見解析；（2）證明見解析；（3），證明見解析．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形、線段的畫法作圖即可；

（2）先證明，再由三角形內(nèi)角和求得∠AMB與∠BAM的數(shù)量關(guān)系，再利用角的和差也可求得∠BAN與∠BAM的關(guān)系，進(jìn)而得結(jié)論；

（3）如圖2，任取滿足條件的點(diǎn)M，作點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)，連接，先根據(jù)對稱性和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，又根據(jù)線段的和差、對稱性得出，要總有，只需恒成立，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得．

（1）由旋轉(zhuǎn)圖形、線段的畫法作圖如下：

（2）∵

∴

∵，即

∴

由旋轉(zhuǎn)的定義可知，

∴

∴；

（3）∵

∴

如圖2，任取滿足條件的點(diǎn)M，作點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)，連接

由對稱性和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，

∴

∴

∵點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為Q

∴

∴

要總有，只需恒成立

由定理可知，當(dāng)時(shí)，可證出

解得

因此，當(dāng)時(shí)，必有，由定理可證，此時(shí)，對于任意的點(diǎn)M，總有．