Question

【題目】已知拋物線與軸的一個交點為，與軸的負(fù)半軸交于點.

（1）直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與軸的另一個交點的坐標(biāo)；

（2）點關(guān)于軸的對稱點為點，當(dāng)點在以為直徑的半圓上時，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的情況下，在拋物線上是否存在一點，使，，三條之中，其中一條是另兩條所夾角的角平分線？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）對稱軸為直線；點的坐標(biāo)為；（2）；（3）存在.點P的坐標(biāo)是或.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對稱軸公式可求出對稱軸；根據(jù)點A與點B關(guān)于對稱軸對稱即可求出點B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)圓心為E，連結(jié)，求出OD的長，于是可求出點C的坐標(biāo)，由A、B、C三點坐標(biāo)可求出拋物線的解析式；

（3）分三種情況逐一畫出圖形進(jìn)行計算：當(dāng)平分時，點P坐標(biāo)為；當(dāng)平分時點P坐標(biāo)為；當(dāng)BD平分時，不存在這樣的點P.

解：（1）對稱軸為直線，

∴關(guān)于直線x=-1的對稱點的坐標(biāo)為.

（2）設(shè)圓心為E，連結(jié)，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∵點的坐標(biāo)為，

∵，，，

∴,

把x=0，y=代入求得,

∴.

（3）分三種情況討論：

如圖1，當(dāng)平分時，點即點，

如圖2，當(dāng)平分時，

∵,

∴,

∴,

∴

∴

∵BP平分

∴

∴，

∴

∴

∴

由點B（1，0）、可求得直線BP的解析式為，

解方程組

得,

∴點P的坐標(biāo)是.

如圖3，當(dāng)BD平分時，點P在直線上，而直線和拋物線的兩個交點、不在第一象限，所以這樣的點不存在.

綜上所述，點P的坐標(biāo)是或.