Question

19．如圖，將一張直角三角形ABC紙片沿斜邊AB上的中線CD剪開，得到△ACD，再將△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移開始后點D′未到達(dá)點B時，A′C′交CD于E，D′C′交CB于點F，連接EF，當(dāng)四邊形EDD′F為菱形時，試探究△A′DE的形狀，并判斷△A′DE與△EFC′是否全等？請說明理由．

Answer 1

分析 當(dāng)四邊形EDD′F為菱形時，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先證明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判斷△DA′E的形狀．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根據(jù)A′D=DE=EF即可證明．

解答 解：當(dāng)四邊形EDD′F為菱形時，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．
理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=DA=DB，
∴∠DAC=∠DCA，
∵A′C′∥AC，
∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，
∴∠DA′E=∠DEA′，
∴DA′=DE，
∴△A′DE是等腰三角形．
∵四邊形DEFD′是菱形，
∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，
∴∠C′EF=∠DA′E，∠EFC′=∠C′D′A′，
∵CD∥C′D′，
∴∠A′DE=∠A′D′C′=∠EFC′，
在△A′DE和△EFC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EA′D=∠C′EF}\\{A′D=EF}\\{∠A′DE=∠EFC′}\end{array}\right.$，
∴△A′DE≌△EFC′．

點評 本題考查平移、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考�？碱}型．