Question

4．如圖，AC⊥BC，AC=BC，D是BC上一點(diǎn)，連接AD，與∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，連接BE．若S_△ACE=$\frac{6}{7}$，S_△BDE=$\frac{3}{14}$，則AC=2．

Answer 1

分析 設(shè)BC=4x，根據(jù)面積公式計(jì)算，得出BC=4BD，過E作AC，BC的垂線，垂足分別為F，G；證明CFEG為正方形，然后在直角三角形ACD中，利用三角形相似，求出正方形的邊長（用x表示），再利用已知的面積建立等式，解出x，最后求出AC=BC=4x即可．

解答 解：過E作AC，BC的垂線，垂足分別為F，G，
設(shè)BC=4x，則AC=4x，
∵CE是∠ACB的平分線，EF⊥AC，EG⊥BC，
∴EF=EG，又S_△ACE=$\frac{6}{7}$，S_△BDE=$\frac{3}{14}$，
∴BD=$\frac{1}{4}$AC=x，
∴CD=3x，
∵四邊形EFCG是正方形，
∴EF=FC，
∵EF∥CD，
∴$\frac{EF}{CD}$=$\frac{AF}{AC}$，即$\frac{EF}{3x}$=$\frac{4x-EF}{4x}$，
解得，EF=$\frac{12}{7}$x，
則$\frac{1}{2}$×4x×$\frac{12}{7}$x=$\frac{6}{7}$，
解得，x=$\frac{1}{2}$，
則AC=4x=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等、角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．