Question

13．如圖，矩形ABCD中，AD=4，AB=3，將此矩形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，連接BE、DF，以B為原點建立平面直角坐標系．
（1）試判斷四邊形BFDE的形狀，并說明理由；
（2）求直線EF的解析式；
（3）在直線EF上是否存在一點P使它到x軸、y軸的距離相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）四邊形BFDE是菱形，理由如下：由折疊可得DE=BE，DF=BF，∠DEF=∠BEF，再由ABCD為矩形，得到AD與BC平行，得到一對內錯角相等，等量代換及等角對等邊得到BE=BF，進而得到四條邊相等，即可得證；
（2）設AE=x，則有ED=4-x，即BE=4-x，在直角三角形AEB中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出E、F坐標，利用待定系數(shù)法確定出直線EF解析式即可；
（3）存在，理由為：設出P（x，y），表示出P到x軸、y軸的距離分別為|y|、|x|，根據(jù)P使它到x軸、y軸的距離相等，得到|x|=|y|，即y=x和y=-x，與直線EF解析式聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解即可得到P的坐標．

解答 解：（1）四邊形BFDE是菱形，理由如下：
由題意可知：DE=BE，DF=BF，∠DEF=∠BEF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∴BE=BF=DF=DE，
∴四邊形BFDE是菱形；
（2）設AE=x，
∵AD=4，AB=3，
∴BE=DE=4-x，
在Rt△ABE中，∠BAE=90°，
∴AB²+AE²=BE²，
∴3²+x²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{7}{8}$，
∴AE=$\frac{7}{8}$，BF=$\frac{25}{8}$，
∴E點的坐標是（$\frac{7}{8}$，3），點F的坐標是（$\frac{25}{8}$，0），
設直線EF的解析式為y=kx+b，
可得方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7}{8}k+b=3}\\{\frac{25}{8}k+b=0}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{6}}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解這個方程組得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{25}{6}}\end{array}\right.$，
∴直線EF的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{25}{6}$；
（3）存在，理由為：
設點P的坐標為（x，y）則點P到x、y軸的距離分別為|y|、|x|，
令|x|=|y|，得到y(tǒng)=x或y=-x，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{6}}\\{y=x}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{6}}\\{y=-x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{25}{14}}\\{y=\frac{25}{14}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{25}{2}}\\{y=-\frac{25}{2}}\end{array}\right.$，
則在直線EF上存在兩個到坐標軸的距離相等點P，坐標分別是（$\frac{25}{14}$，$\frac{25}{14}$），（$\frac{25}{2}$，-$\frac{25}{2}$）．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標軸的交點，坐標與圖形性質，矩形的性質，以及菱形的判定，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．