Question

【題目】如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①分別以A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點；

②作直線PQ，分別交AB，AC于點E，D，連接CE；

③過C作CF∥AB交PQ于點F，連接AF．

（1）求證：△AED≌△CFD；

（2）求證：四邊形AECF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，從而得到AE=CE，AD=CD，然后根據(jù)CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA證得兩三角形全等即可；

（2）根據(jù)全等到AE=CF，然后根據(jù)EF為線段AC的垂直平分線，得到EC=EA，FC=FA，從而得到EC=EA=FC=FA，利用四邊相等的四邊形是菱形判定四邊形AECF為菱形

試題解析：（1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，

∴AE=CE，AD=CD，

∵CF∥AB

∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，

在△AED與△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD，

∴AE=CF，

∵EF為線段AC的垂直平分線，

∴EC=EA，FC=FA，

∴EC=EA=FC=FA，

∴四邊形AECF為菱形