Question

某服裝公司試銷(xiāo)一種成本為每件50元的T恤衫，規(guī)定試銷(xiāo)時(shí)的銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本價(jià)，又不高于每件70元，試銷(xiāo)中銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）的關(guān)系可以近似的看作一次函數(shù)（如圖）．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)公司獲得的總利潤(rùn)（總利潤(rùn)=總銷(xiāo)售額-總成本）為P元，求P與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；根據(jù)題意判斷：當(dāng)x取何值時(shí)，P的值最大？最大值是多少？
（3）若公司要保證利潤(rùn)不能低于4000元，則銷(xiāo)售單價(jià)x的取值范圍為多少元（可借助二次函數(shù)的圖象解答）？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：

分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式得出即可；
（2）利用總利潤(rùn)=總銷(xiāo)售額-總成本，進(jìn)而得出P與x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而得出最值；
（3）利用二次函數(shù)的增減性得出x的取值范圍即可．

解答：解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b，
∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（60，400）和（70，300），
∴

400=60k+b 300=70k+b

，
解得

k=-10 b=1000

．
故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-10x+1000．  
                        
（2）由題意可得出：
P=（x-50）（-10x+1000）
=-10x²+1500x-50000，
自變量取值范圍：50≤x≤70．                     
∵-

b

2a

=-

1500

-20

=75，a=-10＜0．
∴函數(shù)P=-10x²+1500x-50000圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線x=75． 
∵50≤x≤70，此時(shí)y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=70時(shí)，P_最大值=6000．      
                
（3）由p≥4000，
當(dāng)P=4000時(shí)，4000=-10x²+1500x-50000，
解得：x₁=60，x₂=90，
∵a=-10＜0，
∴得60≤x≤90，又50≤x≤70；
故60≤x≤70．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)增減性等知識(shí)，利用二次函數(shù)增減性得出是解題關(guān)鍵．