Question

【題目】在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△A1B1C．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)B1在線段BA延長(zhǎng)線上時(shí)．①求證：BB1∥CA1；②求△AB1C的面積；

（2）如圖②，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F1，求線段EF1長(zhǎng)度的最大值與最小值的差．

Answer 1

【答案】（1）①見試題解析；②（3）．

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明；

②過A作AF⊥BC于F，過C作CE⊥AB于E，根據(jù)三角函數(shù)和三角形的面積公式解答；

（2）過C作CF⊥AB于F，以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1，和以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長(zhǎng)線于F1，得出最大和最小值解答即可．

試題解析：（1）①證明：∵AB=AC，B1C=BC，∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，

∵∠AB1C=∠ACB（旋轉(zhuǎn)角相等），∴∠B1CA1=∠AB1C，∴BB1∥CA1；

②過A作AF⊥BC于F，過C作CE⊥AB于E，如圖①：

∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，∵cos∠ABC=，AB=5，∴BF=3，∴BC=6，

∴B1C=BC=6，∵CE⊥AB，∴BE=B1E=×6=，

∴BB1=，CE=×6=，∴AB1=-5=，

∴△AB1C的面積為：；

（2）如圖2，過C作CF⊥AB于F，以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1，EF1有最小值，

此時(shí)在Rt△BFC中，CF=，∴CF1=，

∴EF1的最小值為-3=；

如圖，以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長(zhǎng)線于F1，EF1有最大值；

此時(shí)EF1=EC+CF1=3+6=9，

∴線段EF1的最大值與最小值的差為9-=．