Question

已知A（1，-3），C（2，3），則AC繞點O旋轉(zhuǎn)一周掃過的面積為

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題,勾股定理,矩形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：過點A作AB⊥y軸于B，過點C作CD⊥y軸于D，過點O作OH⊥AC于H，過點A作AG⊥DC于G，連接OA、OC，易證四邊形ABDG是矩形，則有AG=BD，DG=AB．然后根據(jù)勾股定理可求出OC、OA、AC等線段的長，然后運用面積法求出OH的長，由于AC繞點O旋轉(zhuǎn)一周掃過的面積就是AC上離點O最近的點H及最遠(yuǎn)的點C繞點O旋轉(zhuǎn)一周所圍成圓環(huán)的面積，因此只要算出該圓環(huán)的面積即可解決問題．

解答：解：過點A作AB⊥y軸于B，過點C作CD⊥y軸于D，
過點O作OH⊥AC于H，過點A作AG⊥DC于G，連接OA、OC，如圖所示，
則有∠AGD=∠ABD=∠BDG=90°，
∴四邊形ABDG是矩形，
∴AG=BD，DG=AB．
∵A（1，-3），C（2，3），
∴AB=1，OB=3，CD=2，OD=3，
∴AG=BD=OB+OD=6，CG=DC-DG=DC-AB=2-1=1．
在Rt△ODC中，OC=

OD2+DC2

=

13

，
同理可得：OA=

10

，AC=

37

．
∵S_△AOC=S_梯形ABDC-S_△OAB-S_△ODC
=

1

2

×（1+2）×6-

1

2

×1×3-

1

2

×2×3=

9

2

，
且S_△AOC=

1

2

AC•OH=

37

2

OH，
∴

37

2

OH=

9

2

，
解得：OH=

9 37

37

．
以點O為圓心，分別以O(shè)H、OC為半徑畫圓，如圖所示，
則AC繞點O旋轉(zhuǎn)一周掃過的面積就是圖中圓環(huán)的面積，
該面積為πOC²-πOH²=13π-

81

37

π=

400

37

π．
故答案為：

400

37

π．

點評：本題考查了圓環(huán)的面積公式、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，在求OH長時用到了面積法，它是求垂線段長常用的一種方法，應(yīng)掌握它；另外，需要注意的是線段繞某一點旋轉(zhuǎn)一周掃過的面積，并不是線段兩個端點繞旋轉(zhuǎn)點旋轉(zhuǎn)一周所圍成圓環(huán)的面積，而是線段上離旋轉(zhuǎn)點最近的點及最遠(yuǎn)的點繞旋轉(zhuǎn)點旋轉(zhuǎn)一周所圍成圓環(huán)的面積．