Question

在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，P是OA延長線上一點，過線段OP的中點H作OP的垂線交弧AB于點C，射線PC交弧AB于點D，聯(lián)結(jié)OD．
（1）如圖，當弧AC=弧CD時，求弦CD的長；
（2）如圖，當點C在弧AD上時，設(shè)PA=x，CD=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）設(shè)CD的中點為E，射線HE與射線OD交于點F，當DF=

1

4

時，請直接寫出∠P的余切值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)弧AC=弧CD，得出∠DOC=∠AOC，進而求出PC=OC，以及△DOC∽△DPO，再利用相似三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）根據(jù)切割線定理即可求得．
（3）利用等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系即可得出tan∠P的值．

解答：
解：如圖1，（1）聯(lián)結(jié)CO，∵HC垂直平分OP，
∴CP=CO=2，
∴∠COP=∠P，
∵

AC

=

CD

，
∴∠COP=∠DOC，
∴∠DOC=∠P，
又∵∠ODC=∠PDO，
∴△DOC∽△DPO，
∴

CD

OD

=

OD

CD+PC

又CP=OD=OC=2，
∴

CD

2

=

2

CD+2

，
∴4=DC（DC+2），
解得：CD=-1+

5

，CD=-1-

5

（舍去）

（2）根據(jù)割線定理可知：PC•PD=PA•（AP+OA）
∵PC=OC=2，
∴2（2+y）=x（x+4），
∴y=

1

2

x²+2x-2，（2

2

-2≤x≤2

3

-2）


（3）如圖2，連接OC和OE．
顯然可以得：Rt△CHP≌Rt△CHO，
∴∠CPH=∠COH=x（不妨設(shè)其大小為x）
∴∠DCO=2x．（三角形外角的性質(zhì)定理），
同時，PC=OC=2，
∵CE=DE（已知）
∴由垂徑定理可知：OE⊥CD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=2x．
同時，由銳角三角函數(shù)定義，
在Rt△OPE中．
tan∠APD=

OE

PE

，
∵∠CHO=∠CEO=90°，
∴四點B，C，E，O四點共圓，
∴由同圓中，同弧上的圓周角相等可知
∠HEC=∠HOC=x，
∴∠DEF=∠HEC=∠HOC=x．
在△DEF中，由三角形外角性質(zhì)定理，
∠ODC=∠F+∠DEF，
∴2x=∠F+x，
∴∠F=x．
∴△DEF為等腰三角形，
CE=DE=DF=

1

4

．
∴PE=PC+CE=2+

1

4

=

9

4

，
在Rt△ODE中，DE=

1

4

，OD=2，
∴由勾股定理可得OE=

3 7

4

，
∴tan∠P=

OE

PE

=

3 7 4

9 4

=

7

3

，

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)、切割線定理以及勾股定理和四點共圓以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，構(gòu)建等腰三角形、直角三角形是解題關(guān)鍵．