Question

如圖，已知拋物線y₁=x²+bx+c經(jīng)過A（1，0），B（0，2）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線y₁的解析式；
（2）將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置，將拋物線沿y軸平移后經(jīng)過點(diǎn)C，寫出平移后所得的拋物線y₂的解析式；
（3）設(shè)（2）的拋物線y₂與y軸的交點(diǎn)為B₁，頂點(diǎn)為D₁，若點(diǎn)N在拋物線y₂上，且滿足△NBB₁的面積是△NDD₁面積的2倍，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入解析式即可求得；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的知識(shí)可得：A（1，0），B（0，2），則OA=1，OB=2，可得旋轉(zhuǎn)后C點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1），當(dāng)x=3時(shí)，由y=x²-3x+2得y=2，可知拋物線y=x²-3x+2過點(diǎn)（3，2），將原拋物線沿y軸向下平移1個(gè)單位后過點(diǎn)C，進(jìn)而得出答案；
（3）首先求得B₁，D₁的坐標(biāo)，根據(jù)圖形分別求得即可，要注意利用方程思想．

解答：解：（1）已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（1，0），B（0，2），
∴

0=1+b+c 2=0+0+c

，
解得

b=-3 c=2

，
∴所求拋物線的解析式為y=x²-3x+2；

（2）∵A（1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
可得旋轉(zhuǎn)后C點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1），
當(dāng)x=3時(shí)，由y=x²-3x+2得y=2，
可知拋物線y=x²-3x+2過點(diǎn)（3，2），
∴將原拋物線沿y軸向下平移1個(gè)單位后過點(diǎn)C．
∴平移后的拋物線解析式為：y₂=x²-3x+1；

（3）∵點(diǎn)N在y=x²-3x+1上，可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，x₀²-3x₀+1），
將y=x²-3x+1配方得y=（x-

3

2

）²-

5

4

，
∴其對(duì)稱軸為直線x=

3

2

．
①0≤x₀≤

3

2

時(shí)，如圖①，
∵S△NBB1=2S△NDD1，
∴

1

2

×1×x₀=2×

1

2

×1×（

3

2

-x₀），
∵x₀=1，
此時(shí)x₀²-3x₀+1=-1，
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-1）．
②當(dāng)x₀＞

3

2

時(shí)，如圖②，
同理可得

1

2

×1×x₀=2×

1

2

×（x₀-

3

2

），
∴x₀=3，
此時(shí)x₀²-3x₀+1=1，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，1）．
③當(dāng)x＜0時(shí)，由圖可知，N點(diǎn)不存在，
綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，-1）或（3，1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識(shí)點(diǎn)考查的較多而且聯(lián)系密切，需要學(xué)生認(rèn)真審題．