Question

在銳角△ABC中，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C₁在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求∠CC₁B與∠CC₁A₁的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠BAC=75°，BC=6，連接AA₁，CC₁．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜360°）為多少度數(shù)時(shí)AA₁⊥BC₁，并求出此時(shí)△CBC₁的面積；
（3）如圖3，若AB=5，BC=6，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的任意一點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P₁，求線段EP₁長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠CC₁A₁的度數(shù)；
（2）由△ABC≌△A₁BC₁，易證得△ABA₁∽△CBC₁，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△CBC₁的面積；
（3）由當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB上時(shí)，EP₁最小，即可求得線段EP₁長(zhǎng)度的最小值．

解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，
∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°，
∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°．

（2）∵△ABC≌△A₁BC₁，
∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，
∴

BA

BC

=

BA1

BC1

，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，
∴∠ABA₁=∠CBC₁，
∴△ABA₁∽△CBC₁．
∴

S△ABA1

S△CBC1

=（

BA

BC

）²
∵若∠BAC=75°，BC=6，
∴AB=6

3

-6，
則S_△ABA1=

1

2

×6×（3

3

-3）=9

3

-9，
∴S_△CBC1=（4-2

3

）×（9

3

-9）=54

3

-90；
（3）如圖1，

過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，
∵△ABC為銳角三角形，
∴點(diǎn)D在線段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=3

2

，
當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)，BP與AC垂直的時(shí)候，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB上時(shí)，EP₁最小，最小值為：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=3

2

-

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系．