Question

已知：如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運(yùn)動的時間為t（s）（0＜t≤2），解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時，PQ∥BC？
（2）設(shè)△AQP的面積為y（cm²），當(dāng)t為何值時，y最大，并求出最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）由勾股定理得出AB，因為AP=5-t，AQ=2t，則可證明△APQ∽△ABC，即可求得t；
（2）過點(diǎn)P作PH⊥AC于H．由△APH∽△ABC，得PH=3-

3

5

t，然后根據(jù)三角形的面積公式，從而求得y與t的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=

BC2+AC2

，
由題意知：AP=5-t，AQ=2t，
若PQ∥BC，則△APQ∽△ABC，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，
∴

2t

4

=

5-t

5

，
解得：t=

10

7

．
故當(dāng)t=

10

7

秒時，PQ∥BC；

（2）如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AC于H．
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴

PH

BC

=

AP

AB

，
∴

PH

3

=

5-t

5

，
∴PH=3-

3

5

t，
∴△AQP的面積為：
y=

1

2

×AQ×PH
=

1

2

×2t×（3-

3

5

t）
=-

3

5

t²+3t
=-

3

5

（t²-5t）
=-

3

5

（t-

5

2

）²+

15

4

，
∵0＜t≤2，
∴當(dāng)t為2秒時，y最大，最大值為：

18

5

cm²．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題以及勾股定理等知識，利用相似三角形的性質(zhì)得出PH的長是解題關(guān)鍵．