【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l與拋物線y=mx2+nx相交于A(1,3 ),B(4,0)兩點(diǎn).
(1)求出拋物線的解析式;
(2)在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)D,使得△ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn),(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合),過(guò)點(diǎn)P作PM∥OA,交第一象限內(nèi)的拋物線于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)N,若△BCN、△PMN的面積SBCN、SPMN滿足SBCN=2SPMN , 求出 的值,并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵A(1,3 ),B(4,0)在拋物線y=mx2+nx的圖象上,

,解得 ,

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+4 x


(2)

解:存在三個(gè)點(diǎn)滿足題意,理由如下:

當(dāng)點(diǎn)D在x軸上時(shí),如圖1,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D,

∵A(1,3 ),

∴D坐標(biāo)為(1,0);

當(dāng)點(diǎn)D在y軸上時(shí),設(shè)D(0,d),則AD2=1+(3 ﹣d)2,BD2=42+d2,且AB2=(4﹣1)2+(3 2=36,

∵△ABD是以AB為斜邊的直角三角形,

∴AD2+BD2=AB2,即1+(3 ﹣d)2+42+d2=36,解得d= ,

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(0, )或(0, );

綜上可知存在滿足條件的D點(diǎn),其坐標(biāo)為(1,0)或(0, )或(0, );


(3)

解:如圖2,過(guò)P作PF⊥CM于點(diǎn)F,

∵PM∥OA,

∴Rt△ADO∽R(shí)t△MFP,

=3 ,

∴MF=3 PF,

在Rt△ABD中,BD=3,AD=3 ,

∴tan∠ABD= ,

∴∠ABD=60°,設(shè)BC=a,則CN= a,

在Rt△PFN中,∠PNF=∠BNC=30°,

∴tan∠PNF= = ,

∴FN= PF,

∴MN=MF+FN=4 PF,

∵SBCN=2SPMN,

a2=2× ×4 PF2,

∴a=2 PF,

∴NC= a=2 PF,

= ,

∴MN= NC= × a= a,

∴MC=MN+NC=( + )a,

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(4﹣a,( + )a),

又M點(diǎn)在拋物線上,代入可得﹣ (4﹣a)2+4 (4﹣a)=( + )a,

解得a=3﹣ 或a=0(舍去),

OC=4﹣a= +1,MC=2 + ,

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為( +1,2 + ).


【解析】(1)由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
   。2)分D在x軸上和y軸上,當(dāng)D在x軸上時(shí),過(guò)A作AD⊥x軸,垂足D即為所求;當(dāng)D點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,d),可分別表示出AD、BD,再利用勾股定理可得到關(guān)于d的方程,可求得d的值,從而可求得滿足條件的D點(diǎn)坐標(biāo);
   。3)過(guò)P作PF⊥CM于點(diǎn)F,利用Rt△ADO∽R(shí)t△MFP以及三角函數(shù),可用PF分別表示出MF和NF,從而可表示出MN,設(shè)BC=a,則可用a表示出CN,再利用SBCN=2SPMN , 可用PF表示出a的值,從而可用PF表示出CN,可求得 的值;借助a可表示出M點(diǎn)的坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得a的值,從而可求出M點(diǎn)的坐標(biāo).本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系及分類(lèi)討論等.在(2)中注意分點(diǎn)D在x軸和y軸上兩種情況,在(3)中分別利用PF表示出MF和NC是解題的關(guān)鍵,注意構(gòu)造三角形相似.本題涉及知識(shí)點(diǎn)較多,計(jì)算量較大,綜合性較強(qiáng),特別是第(3)問(wèn),難度很大.

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(1)請(qǐng)你算一算每件服裝的標(biāo)價(jià)是多少元?

(2)為了盡快減少庫(kù)存,又要保證不虧本,請(qǐng)你告訴小明最多能打幾折.

(3)小明認(rèn)真總結(jié)了前一次的教訓(xùn),進(jìn)行了詳細(xì)的市場(chǎng)調(diào)查后第二次進(jìn)貨件,按第一次的標(biāo)價(jià)銷(xiāo)售了件后,剩下的進(jìn)行打折甩賣(mài),為了盡快減少庫(kù)存,又要保證盈利兩萬(wàn)元錢(qián),請(qǐng)你告訴小明最多能打幾折.

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①∠MON與旋轉(zhuǎn)度數(shù)有怎樣的數(shù)量關(guān)系?說(shuō)明理由;

②當(dāng)n為多少時(shí),∠MON為直角?

(3)如果∠AOB的位置和大小不變,∠COD的邊OD的位置不變,改變∠COD的大小;將圖1中的OC繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)m°(0m100),如圖3,∠MON與旋轉(zhuǎn)度數(shù)有怎樣的數(shù)量關(guān)系?說(shuō)明理由.

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