【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線l:y=﹣x+4與y軸、x軸分別交于
E、F,邊長為2的等邊△ABC,邊BC在x軸上,將此三角形沿著x軸的正方向平移,在平移過程中,得到△A1B1C1,當點B1與原點重合時,解答下列問題:
(1)求出點A1的坐標,并判斷點A1是否在直線l上;
(2)求出邊A1C1所在直線的解析式;
(3)在坐標平面內(nèi)找一點P,使得以P、A1、C1、F為頂點的四邊形是平行四邊形,請直接寫出P點坐標.
【答案】(1)見解析;(2) y=﹣x+6 ;(3) 點P的坐標為(3,3)或(﹣,3)或(5,﹣3).
【解析】
(1)過點A1作A1D⊥x軸于點D,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出B1D、A1D的長度,進而可得出點A1的坐標,再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可找出點A1在直線l上;
(2)由等邊三角形的邊長可找出點C1的坐標,由點A1、C1的坐標,利用待定系數(shù)法即可求出邊A1C1所在直線的解析式;
(3)分別以△A1C1F的三條邊為對角線找出平行四邊形,利用平行四邊形的性質(zhì)即可找出點P的坐標.
(1)過點A1作A1D⊥x軸于點D,如圖1所示.
∵△A1B1C1是邊長為2的等邊三角形,
∴B1D=×2=,A1D=×2=3,
∴點A1的坐標為(,3).
∵當x=時,y=﹣×+4=3,
∴點A1在直線l上.
(2)∵△A1B1C1是邊長為2的等邊三角形,
∴B1C1=2,
∴點C1的坐標為(2,0).
設邊A1C1所在直線的解析式為y=kx+b(k≠0),
將A1(,3)、C1(2,0)代入y=kx+b,得:
,解得:
∴邊A1C1所在直線的解析式為y=﹣x+6.
(3)當y=0時,有﹣x+4=0,
解得:x=4,
∴點F的坐標為(4,0).
分三種情況考慮(如圖2):
①當A1F為對角線時,四邊形A1C1FP1為平行四邊形,
∵A1(,3),C1(2,0),F(xiàn)(4,0),
∴點P1的坐標為(+4﹣2,3+0﹣0),即(3,3);
②當A1C1為對角線時,四邊形A1P2C1F為平行四邊形,
∵A1(,3),C1(2,0),F(xiàn)(4,0),
∴點P2的坐標為(+2﹣4,3+0﹣0),即(﹣,3);
③當C1F為對角線時,四邊形A1C1P3F為平行四邊形,
∵A1(,3),C1(2,0),F(xiàn)(4,0),
∴點P3的坐標為(2+4﹣,0+0﹣3),即(5,﹣3).
綜上所述:點P的坐標為(3,3)或(﹣,3)或(5,﹣3).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】綜合與探究
如圖1,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A(﹣1,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C,連接AC,BC.D為坐標平面第四象限內(nèi)一點,且使得△ABD與△ABC全等.
(1)求拋物線的表達式.
(2)請直接寫出點D的坐標,并判斷四邊形ACBD的形狀.
(3)如圖2,將△ABD沿y軸的正方形以每秒1個單位長度的速度平移,得到△A′B′D′,A′B′與BC交于點E,A′D′與AB交于點F.連接EF,AB′,EF與AB′交于點G.設運動的時間為t(0≤t≤2)秒.
①當直線EF經(jīng)過拋物線的頂點T時,請求出此時t的值;
②請直接寫出點G經(jīng)過的路徑的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,在以O為原點的直角坐標系中,拋物線的頂點為A(1,4),且經(jīng)過點B(2,3),與x軸交于C、D兩點.
(1)求直線OB的函數(shù)表達式和該拋物線的函數(shù)表達式;
(2)如圖1,點P是x軸上方的拋物線上一動點,過點P作直線PF⊥x軸于點F,交直線OB于點E.若PE=3EF,求出P點的橫坐標;
(3)如圖2,點M是拋物上的一個動點,且在直線OB的上方,過點M作x軸的平行線與直線OB交于點N,T是拋物線對稱軸上一點,當MN最大且△MDT周長最小時,直接寫出T的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,△ABC是等腰三角形,AB=AC,點D,E,F分別在AB,BC,AC邊上,且BD=CE,BE=CF.
(1)求證:△DEF是等腰三角形;
(2)猜想:當∠A滿足什么條件時,△DEF是等邊三角形?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于點C,BD平分∠ABF,且交AE于點D,AC與BD相交于點O,連接CD
(1)求∠AOD的度數(shù);
(2)求證:四邊形ABCD是菱形.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E,F為BC上兩點,且BE=CF,AF=DE.
求證:(1)△ABF≌△DCE;
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點D在AB上,點E在AC上,且∠AEB=∠ADC,那么補充下列一個條件后,仍無法判定△ABE≌△ACD的是( )
A.AD=AEB.∠B=∠CC.BE=CDD.AB=AC
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l1與直線交于點,直線l1分別交x軸、y軸于點A,B,OB=2,直線l2交x軸于點C.
(1)求m的值及四邊形OBPC的面積;
(2)求直線l1的解析式;
(3)設點Q是直線l2上的一動點,當以A、C、Q為頂點的三角形的面積等于四邊形OBPC的面積時,求點Q的坐標.
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