【題目】如圖,在中,,,,線段上一動(dòng)點(diǎn),以的速度從點(diǎn)出發(fā)向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)作,交折線于點(diǎn),以為一邊,在左側(cè)作正方形.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,正方形與重疊部分面積為.
(1)________;
(2)當(dāng)為何值時(shí),點(diǎn)在上;
(3)求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(4)直線將面積分成兩部分時(shí),直接寫出的取值范圍.
【答案】(1);(2);(3);(4)當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí),;當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí),
【解析】
(1)根據(jù)題意,設(shè)AC長(zhǎng)為,然后利用勾股定理進(jìn)一步列出方程求解即可;
(2)根據(jù)題意,畫出當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí)的圖形,然后證明出AG=DG=BD=AB=2,最后進(jìn)一步計(jì)算即可;
(3)根據(jù)題意,分當(dāng)時(shí)、時(shí)、當(dāng)時(shí)三種情況,分別得出相應(yīng)的圖形,然后根據(jù)圖形進(jìn)一步計(jì)算求解即可;
(4)如圖所示,①當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí),畫出此時(shí)的正方形DEFG,連接BF交AC于點(diǎn)M,
根據(jù)題意首先求出,然后進(jìn)一步證明△FEM~△BAM,接著利用相似三角形性質(zhì)進(jìn)一步求解即可;②當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí),,畫出此時(shí)的正方形DEFG,延長(zhǎng)BF交AC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BC交BC于N,首先根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得出BD=DE=EF=,NE=FN=,然后進(jìn)一步證明△BFN~△BMC,從而得出,由此進(jìn)一步分析即可得知當(dāng)直線將面積分成兩部分時(shí)的的取值范圍.
(1)設(shè)AC長(zhǎng)為,則BC=,
則在Rt△ABC中,,
即:,
解得:,
∵是正數(shù),
∴,
∴AC=,
故答案為:;
(2)當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí),可得下圖:
∵四邊形DEFG是正方形,
∴EF∥AB,EF=FG=GD=ED,∠FGA=∠EDB=90°,
∵在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,
∴∠B=∠A=45°,
∴△AGF與△BDE是等腰直角三角形,
∴AG=GF,DE=BD,
∴AG=DG=BD=AB=2,
∴AD=4,
∴此時(shí);
(3)如圖,當(dāng)時(shí),重疊部分為△ADE,
∵∠C=90°,AC=BC,
∴∠CAB=∠B=45°,
∵DE⊥AB,
∴∠AED=45°,
∴AD=DE=,
∴;
如圖,當(dāng)時(shí),重疊部分是五邊形MNEDG,
∵四邊形DEFG是正方形,
∴FG=GD=DE,∠AGM=∠EDB=∠F=90°,
∵∠B=∠A=45°,
∴∠AMG=∠DEB=45°,
∴AG=GM,BD=DE,
∴FG=DG=DE=DB=,
∴MG=AG=ADDG=,
∴FM=FGMG=,
∵∠AMG=45°,∠F=90°,
∴∠FNM=45°,
∴FN=FM=,
∴
如圖,當(dāng)時(shí),重疊部分為正方形DEFG,
∵四邊形DEFG是正方形,
∴GD=DE,∠EDB=90°,
∵∠B=45°,
∴∠DEB=45°,
∴DE=DB=,
∴,
綜上所述,;
(4)
①如上圖所示,當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí),畫出此時(shí)的正方形DEFG,連接BF交AC于點(diǎn)M,
∵要使直線將面積分成兩部分,
∴此時(shí),
∴,
∴,
∵EF∥AB,
∴∠FEM=∠BAM,
∴△FEM~△BAM,
∴,
又∵在等腰Rt△ADE中,AE=,
∴,
∴;
②如上圖所示,當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí),,畫出此時(shí)的正方形DEFG,延長(zhǎng)BF交AC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BC交BC于N,
則BD=DE=EF=,
在Rt△BDE中,∠ABC=45°,
∴BE=BD=,
∵EF∥AB,
∴∠NEF=∠CBA=45°,
∵FN⊥BC,
∴△FNE為等腰直角三角形,
∴NE=FN=,
∵∠C=∠FNB,∠CBM=∠NBF,
∴△BFN~△BMC,
∴,
∵AC=BC,
∴,
∴,
∴,
∴當(dāng)直線將面積分成兩部分時(shí),,
綜上所述,當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí),;當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí),.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,,BC為的直徑,D為任意一點(diǎn),連接AD交BC于點(diǎn)F,EA⊥AD交DB的延長(zhǎng)線于E,連接CD.
(1)求證:△ABE≌△ACD;
(2)填空:①當(dāng)∠CAD的度數(shù)為 時(shí),四邊形ABDC是正方形;
②若四邊形ABDC的面積為4,則AD的長(zhǎng)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使BD=BA,P是BC邊上一點(diǎn).點(diǎn)Q在射線BA上,PQ=BP,以點(diǎn)P為圓心,PD長(zhǎng)為半徑作⊙P,交AC于點(diǎn)E,連接PQ,設(shè)PC=x.
(1)AB= ,CD= ,當(dāng)點(diǎn)Q在⊙P上時(shí),求x的值;
(2)x為何值時(shí),⊙P與AB相切?
(3)當(dāng)PC=CD時(shí),求陰影部分的面積;
(4)若⊙P與△ABC的三邊有兩個(gè)公共點(diǎn),直接寫出x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線與x,y軸分別交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),直線y=2x+3m與軸分別交于兩點(diǎn),兩直線交于點(diǎn)E,點(diǎn)P在射線CA上,點(diǎn)Q在射線AE上,分別連接交于點(diǎn)F,且.
(1)若點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為,求的值
(2)當(dāng)時(shí),過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)N,求證:
(3)在(1)的條件下,當(dāng)時(shí),過(guò)點(diǎn)P作交AB于點(diǎn)G,點(diǎn)K在射線CQ上,射線EK交直線于點(diǎn)L,射線交直線于點(diǎn)R,連接,當(dāng)時(shí),求K點(diǎn)LR到的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線L: (常數(shù)t>0)與x軸從左到右的交點(diǎn)為B,A,過(guò)線段OA的中點(diǎn)M作MP⊥x軸,交雙曲線于點(diǎn)P,且OA·MP=12.
(1)求k值;
(2)當(dāng)t=1時(shí),求AB長(zhǎng),并求直線MP與L對(duì)稱軸之間的距離;
(3)把L在直線MP左側(cè)部分的圖象(含與直線MP的交點(diǎn))記為G,用t表示圖象G最高點(diǎn)的坐標(biāo);
(4)設(shè)L與雙曲線有個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0,且滿足4≤x0≤6,通過(guò)L位置隨t變化的過(guò)程,直接寫出t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖1是一個(gè)地鐵站入口的雙翼閘機(jī).如圖2,它的雙翼展開時(shí),雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為10cm,雙翼的邊緣AC=BD=54cm,且與閘機(jī)側(cè)立面夾角∠PCA=∠BDQ=30°.當(dāng)雙翼收起時(shí),可以通過(guò)閘機(jī)的物體的最大寬度為( )
A. (54+10) cm B. (54+10) cm C. 64 cm D. 54cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B或點(diǎn)C),點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,連接BD,CD.
(1)如圖1,
①求證:點(diǎn)B,C,D在以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑的圓上.
②直接寫出∠BDC的度數(shù)(用含α的式子表示)為______.
(2)如圖2,當(dāng)α=60°時(shí),過(guò)點(diǎn)D作BD的垂線與直線l交于點(diǎn)E,求證:AE=BD.
(3)如圖3,當(dāng)α=90°時(shí),記直線l與CD的交點(diǎn)為F,連接BF.將直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)線段BF的長(zhǎng)取得最大值時(shí),直接寫出tan∠FBC的值.
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【題目】鐘南山院士在談到防護(hù)新型冠狀病毒肺炎時(shí)說(shuō):“我們需要重視防護(hù),但也不必恐慌,盡量少去人員密集的場(chǎng)所,出門戴口罩,在室內(nèi)注意通風(fēng),勤洗手,多運(yùn)動(dòng),少熬夜.”某社區(qū)為了加強(qiáng)社區(qū)居民對(duì)新型冠狀病毒肺炎防護(hù)知識(shí)的了解,通過(guò)微信群宣傳新型冠狀病毒肺炎的防護(hù)知識(shí),并鼓勵(lì)社區(qū)居民在線參與作答《2020年新型冠狀病毒防治全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)卷)》試卷(滿分100分),社區(qū)管理員隨機(jī)從甲、乙兩個(gè)小區(qū)各抽取20名人員的答卷成績(jī),并對(duì)他們的成績(jī)(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、分析,過(guò)程如下:
收集數(shù)據(jù)
甲小區(qū):80 85 90 95 90 95 90 65 75 100 90 70 95 90 80 80 90 95 60 100
乙小區(qū):60 80 95 80 90 65 80 85 85 100 80 95 90 80 90 70 80 90 75 100
整理數(shù)據(jù)
成績(jī)(分) 小區(qū) | ||||
甲小區(qū) | ||||
乙小區(qū) |
分析數(shù)據(jù)
數(shù)據(jù)名稱 計(jì)量小區(qū) | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
甲小區(qū) | |||
乙小區(qū) |
應(yīng)用數(shù)據(jù)
(1)填空:=______,=______;
(2)若乙小區(qū)共有1200人參與答卷,請(qǐng)估計(jì)乙小區(qū)成績(jī)大于90分的人數(shù);
(3)社區(qū)管理人員看完統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),認(rèn)為甲小區(qū)對(duì)新型冠狀病毒肺炎防護(hù)知識(shí)掌握更好,請(qǐng)你寫出社區(qū)管理人員的理由;為了更好地宣傳新型冠狀病毒肺炎防護(hù)知識(shí),社區(qū)管理人員決定從甲、乙小區(qū)的4個(gè)滿分試卷中隨機(jī)抽取兩份試卷對(duì)小區(qū)居民進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)宣傳講解培訓(xùn),請(qǐng)用列表格或畫樹狀圖的方法求出甲、乙小區(qū)各抽到一份滿分試卷的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某寶網(wǎng)店銷售甲、乙兩種電器,已知甲種電器每個(gè)的售價(jià)比乙種電器多60元,馬老師從該網(wǎng)店購(gòu)買了3個(gè)甲種電器和2個(gè)乙種電器,共花費(fèi)780元.
(1)該店甲、乙兩種電器每個(gè)的售價(jià)各是多少元?
(2)根據(jù)銷售情況,店主決定用不少于10800元的資金購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種電器,這兩種電器共100個(gè),已知甲種電器每個(gè)的進(jìn)價(jià)為150元,乙種電器每個(gè)的進(jìn)價(jià)為80元.若所購(gòu)進(jìn)電器均可全部售出,請(qǐng)求出網(wǎng)店所獲利潤(rùn)W(元)與甲種電器進(jìn)貨量m(個(gè))之間的函數(shù)關(guān)系式,并說(shuō)明當(dāng)m為何值時(shí)所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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