Question

如圖，已知直線y₁=kx+n與拋物線y₂=-x²+bx+c都經(jīng)過A（4，0）和B（0，2）．
（1）求直線和拋物線解析式；      
（2）當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，求x的取值范圍；        
（3）若直線上方的拋物線有一點(diǎn)C，且S_△ABC=6，求C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)與不等式（組）,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）將已知兩點(diǎn)坐標(biāo)代入直線與拋物線解析式求出各字母的值，即可確定出各自的解析式；
（2）觀察圖象，直線y₁落在拋物線y₂上方的部分對應(yīng)的x的取值即為所求x的取值范圍；
（3）設(shè)C的坐標(biāo)為（x，-x²+3.5x+2），根據(jù)S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC-S_△AOB=6列出方程，解方程即可．

解答：解：（1）將（4，0）與（0，2）分別代入直線解析式得：

4k+n=0 n=2

，
解得：

k=- 1 2 n=2

，
即直線解析式為y₁=-

1

2

x+2；
將（4，0）與（0，2）分別代入拋物線解析式得：

-16+4b+c=0 c=2

，
解得：

b=3.5 c=2

，
即拋物線解析式為y₂=-x²+3.5x+2；

（2）根據(jù)兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），（4，0），
由圖象得：當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，x的取值范圍為x＜0或x＞4；

（3）設(shè)C的坐標(biāo)為（x，-x²+3.5x+2），則0＜x＜4．
∵S_△ABC=6，
∴S_△AOC+S_△BOC-S_△AOB=6，
∴

1

2

×4×（-x²+3.5x+2）+

1

2

×2x-

1

2

×4×2=6，
整理得x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
當(dāng)x₁=1時(shí)，-x²+3.5x+2=-1+3.5+2=4.5；
當(dāng)x₂=3時(shí)，-x²+3.5x+2=-9+10.5+2=3.5；
∴C的坐標(biāo)為（1，4.5）或（3，3.5）．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)與不等式，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，三角形的面積，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．