【題目】如圖,邊長為4cm的等邊△ABC中,點P、Q分別是邊AB、BC上的動點(端點除外),點P從頂點A,點Q從頂點B同時出發(fā),且它們的速度都為1cm/s,連接AQ,CP交于點M,在點P,Q運動的過程中.

(1)求證:△ABQ≌△CAP;
(2)∠QMC的大小是否發(fā)生變化?若無變化,求∠QMC的度數(shù);若有變化,請說明理由;
(3)連接PQ,當點P,Q運動多少秒時,△PBQ是直角三角形?

【答案】
(1)

證明:∵△ABC是等邊三角形,

∴∠ABQ=∠CAP=60°,AB=CA,

∵點P、Q的速度相同,

∴AP=BQ,

在△ABQ和△CAP中,

,

∴△ABQ≌△CAP


(2)

解:∠QMC的大小不發(fā)生變化,

∵△ABQ≌△CAP,

∴∠BAQ=∠ACP,

∴∠QMC=∠QAC+∠ACP=∠QAC+∠BAQ=60°


(3)

解:設點P,Q運動x秒時,△PBQ是直角三角形,

則AP=BQ=x,PB=(4﹣x),

當∠PQB=90°時,

∵∠B=60°,

∴BP=2BQ,即4﹣x=2x,

解得,x= ,

當∠PBQ=90°時,

∵∠B=60°,

∴BQ=2BP,即2(4﹣x)=x,

解得,x=

∴當點P,Q運動 秒或 秒時,△PBQ是直角三角形


【解析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質、三角形全等的判定定理證明;(2)根據(jù)全等三角形的性質得到∠BAQ=∠ACP,根據(jù)三角形的外角的性質解答;(3)分∠PQB=90°和∠PBQ=90°兩種情況,根據(jù)直角三角形的性質計算即可.

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