Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC中，點(diǎn)P、Q分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ，CP交于點(diǎn)M，在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中．

（1）求證：△ABQ≌△CAP；
（2）∠QMC的大小是否發(fā)生變化？若無變化，求∠QMC的度數(shù)；若有變化，請(qǐng)說明理由；
（3）連接PQ，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，△PBQ是直角三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，

∵點(diǎn)P、Q的速度相同，

∴AP=BQ，

在△ABQ和△CAP中，

，

∴△ABQ≌△CAP

（2）

解：∠QMC的大小不發(fā)生變化，

∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠QMC=∠QAC+∠ACP=∠QAC+∠BAQ=60°

（3）

解：設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，△PBQ是直角三角形，

則AP=BQ=x，PB=（4﹣x），

當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，

∵∠B=60°，

∴BP=2BQ，即4﹣x=2x，

解得，x= ，

當(dāng)∠PBQ=90°時(shí)，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，即2（4﹣x）=x，

解得，x= ，

∴當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng) 秒或 秒時(shí)，△PBQ是直角三角形

【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAQ=∠ACP，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)解答；（3）分∠PQB=90°和∠PBQ=90°兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．