Question

【題目】如圖，的平分線過點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心的圓與相切于點(diǎn)，為的直徑．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求；

（3）若的半徑為，，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2）（3）

【解析】

(1)過點(diǎn)O作OH⊥PB，證明OH=OC即可；

(2)由圓周角定理求出∠COD=2∠E=50°，由切線求出∠COP的度數(shù)，∠COD-∠COP即可得到答案；

(3)在Rt△CDE中，由三角函數(shù)先求出∠E的度數(shù)為30°，進(jìn)而求出圓心角∠COE=120°，再由扇形面積公式算出扇形COE的面積，再加上等邊△CDO的面積及得到陰影部分的面積.

解：(1)證明：過點(diǎn)O作OH⊥PB于H點(diǎn)，如下圖所示：

∵AP為圓O的切線，且C為切點(diǎn)

∴CO⊥PC

∵PO為∠APB的角平分線，且CO⊥PC，OH⊥PB

∴OH=OC

故PB是圓O的切線.

(2)∵∠CPO=50°，且CP⊥CO

∴∠COP=90°-50°=40°

又由同弧所對的圓周角是圓心角的一半可知

∠COD=2∠E=2×25°=50°

∴∠POD=∠COD-∠COP=50°-40°=10°.

故答案為：10°.

(3)∵DE為圓O的直徑

∴在Rt△DEC中，

∴∠E=30°

∴∠COE=180°-30°-30°=120°

∴扇形COE的面積為：

∴△CDO的面積為：

故陰影部分的面積為：

故答案為：